Considere a função e^x2 Determine o raio de convergência da série de funções obtida no item a)?
28. Série de Potências: Determine o raio de convergência da seguinte série de potências:
sumn=1^infty (x-2)^nn 4^n

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos uma série de potências dada por:
sumn=1^infty (x-2)^nn cdot 4^n
Nosso objetivo é determinar o raio de convergência dessa série. Isso significa descobrir até que ponto os valores de fazem a série somar um valor finito.

Passo 2

Para encontrar o raio de convergência, vamos utilizar o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert). Esse teste nos ajuda a determinar para quais valores de L = limn to infty | an+1an | a série converge.
O Teste da Razão funciona assim: analisamos o limite da razão entre termos consecutivos da série quando tende ao infinito.
Matematicamente, calculamos:
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos identificar an = 1n cdot 4^n na nossa série:
an+1 = 1(n+1) cdot 4^n+1 = 1(n+1) cdot 4 cdot 4^n
Agora, calculamos :

Passo 4

Aplicando o Teste da Razão:
Simplificando:
L = limn to infty | an+1an | = limn to infty | 1(n+1) cdot 4^n+11n cdot 4^n | = limn to infty | n cdot 4^n(n+1) cdot 4^n+1 |
Dividindo numerador e denominador por L = limn to infty n(n+1) cdot 4 = limn to infty n4n + 4 :
L = limn to infty 14 + 4n = 14 + 0 = 14

Passo 5

Agora, aplicamos o resultado do limite no critério de convergência:
Como | x-24 | < 1 , a série converge quando:

Passo 6

Resolvendo a desigualdade para encontrar os valores de | x - 2 | < 4 :
Isso significa que está dentro de um intervalo de 4 unidades ao redor de 2.

Resposta

O raio de convergência da série é 4.

Exercícios relacionados