Considere a sequencia recursiva
a1=1 ; a2=3 ; an+1=12(an+an-1)
Discuta a convergência, e encontre, se possível, o lim n infty an

Passo 1

O enunciado define a sequência recursiva de segunda ordem com condições iniciais e pede para discutir se ela converge e, em caso positivo, determinar limntoinftyan. Vamos usar teoria de limites de recorrências e propriedades de lim
inf e lim
sup.

Passo 2

Primeiro, notamos que a1=1>0 e a2=3>0. Supondo inductivamente que an-1>0 e an>0, a definição
an+1=12l(an+an-1r)
mostra que o denominador é positivo e portanto an+1>0. Assim, todos os termos da sequência são positivos.

Passo 3

Como toda sequência real limitada tem subsequências convergentes, vamos definir
u=liminfntoinftyan, v=limsupntoinftyan

Passo 4

Usando continuidade da função f(x,y)=1/[2(x+y)], temos
u=liminfntoinftyan+1=liminf12(an+an-1)=12,(limsup(an+an-1))=12( v+v)=14v,
v=limsupntoinftyan+1=12,(liminf(an+an-1))=12( u+u)=14u

Passo 5

Dessas duas igualdades tiramos
u=14v, v=14u Longrightarrow u,v=14vcdot v=14 e v=14u

Passo 6

Multiplicando as duas equações vemos que
u^2=14Longrightarrow u=12
(descartamos u=-1/2 pois an>0). E então v=1/(4u)=1/2. Como u=v, concluímos que a sequência converge e que o limite é único.

Resposta

limntoinftyan=12

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