Considere a sequencia recursiva
Discuta a convergência, e encontre, se possível, o
Passo 1
O enunciado define a sequência recursiva de segunda ordem com condições iniciais e pede para discutir se ela converge e, em caso positivo, determinar
. Vamos usar teoria de limites de recorrências e propriedades de lim
inf e lim
sup.
inf e lim
sup.
Passo 2
Primeiro, notamos que
e
. Supondo inductivamente que
e
, a definição
mostra que o denominador é positivo e portanto
Passo 3
Como toda sequência real limitada tem subsequências convergentes, vamos definir
Passo 4
Usando continuidade da função
, temos
Passo 5
Dessas duas igualdades tiramos
Passo 6
Multiplicando as duas equações vemos que
(descartamos