Nas séries abaixo determine se cada série diverge, converge condicionalmente ou é absolutamente convergente. Use qualquer teste ou teorema que achar conveniente para justificar sua resposta.
sumn=1^infty(-1)^n 3^n(3 n)!

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série alternante sumn=1^infty(-1)^n3^n(3n)!: conteúdo de séries de potências e critério de convergência absoluta/condicional.

Passo 2

Para verificar convergência absoluta, consideramos a série das normas dos termos: sumn=1^infty|(-1)^n3^n(3n)!| = sumn=1^infty3^n(3n)!.

Passo 3

Aplicamos o teste da razão em an = 3^n(3n)!. Calculamos
limntoinftyan+1an = limntoinfty3^n+1/(3(n+1))!3^n/(3n)! = limntoinfty3(3n+1)(3n+2)(3n+3) = 0

Passo 4

Como o limite da razão é menor que 1, a série sum an converge. Logo a série original converge absolutamente, o que implica convergência incondicional.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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