Desenvolva a série de potencia (pelo menos 5 termos) e encontre os valores de x para o qual a série converge.
sumn=1^infty(-1)^n n3^n x^n

Passo 1

Neste exercício a gente tem a série de potências
sumn=1^infty(-1)^n n3^n x^n
O conteúdo é séries de potências e raio de convergência. Para resolver, precisamos escrever os primeiros termos da série e depois usar o teste da razão para achar o intervalo de convergência.

Passo 2

A gente vai calcular os cinco primeiros termos da soma, substituindo n=1,2,3,4,5:
Para n=1:
(-1)^113^1x^1 = -13x
Para n=2:
(-1)^223^2x^2 = 29x^2
Para n=3:
(-1)^333^3x^3 = -19x^3
Para n=4:
(-1)^443^4x^4 = 481x^4
Para n=5:
(-1)^553^5x^5 = -5243x^5

Passo 3

Para determinar para quais x a série converge, aplicamos o teste da razão. Vamos olhar
L = limntoinfty |an+1x^n+1an x^n| = limntoinfty n+1n cdot |x|3
onde an = (-1)^nn3^n.

Passo 4

Como limntoinftyn+1n=1, fica
L = |x|3
Para convergir pelo teste da razão precisamos de L<1, isto é
|x|3<1 Longrightarrow |x|<3

Passo 5

Falta checar os extremos. Se x=3 ou x=-3, o termo geral vira (-1)^n n ou n, que não tende a zero, logo a série diverge nesses casos. Portanto o intervalo de convergência é
-3

Resposta

A expansão até cinco termos é
-13x + 29x^2 - 19x^3 + 481x^4 - 5243x^5 + dots
E a série converge para
|x|<3

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