Desenvolva a série de potencia (pelo menos 5 termos) e encontre os valores de para o qual a série converge.
Passo 1
Neste exercício a gente tem a série de potências
O conteúdo é séries de potências e raio de convergência. Para resolver, precisamos escrever os primeiros termos da série e depois usar o teste da razão para achar o intervalo de convergência.
Passo 2
A gente vai calcular os cinco primeiros termos da soma, substituindo :
Para :
Para :
Para :
Para :
Para :
Passo 3
Para determinar para quais a série converge, aplicamos o teste da razão. Vamos olhar
onde an = (-1)^nn3^n.
Passo 4
Como limntoinftyn+1n=1, fica
L = |x|3
Para convergir pelo teste da razão precisamos de L<1, isto é
|x|3<1 Longrightarrow |x|<3
Passo 5
Falta checar os extremos. Se x=3 ou x=-3, o termo geral vira (-1)^n n ou n, que não tende a zero, logo a série diverge nesses casos. Portanto o intervalo de convergência é