Decida se as series abaixo convergem absolutamente, condicionalmente ou divergem. Justifique. Qual foi o critério de convergência utilizado?
\sum_{n=1}{\infty}(-1){n+1} \cdot \frac{n{2}}{n{3}+4}
ser classificada como convergente absolutamente, convergente condicionalmente ou divergente. O conteúdo da matéria envolve testes de convergência de séries alternadas (teste de Leibniz) e de séries de termos positivos (comparação e teste da série p). Vamos usar o critério de comparação limite para a convergência absoluta e o teste de Leibniz para a convergência alternada.
Como a série harmônica diverge e o limite é finito e não nulo, nossa série de termos positivos também diverge. Logo, a série original não converge absolutamente.
Passo 3
Teste da série alternada (Leibniz). Definimos
a_{n}=\frac{n^{2}}{n^{3}+4},
que é positivo para todo n. Precisamos verificar duas condições:
\lim_{n\to\infty}a_{n}=0.
(a_{n}) é monotonicamente decrescente para n suficientemente grande.
que é negativa para x\ge2. Logo, a_{n}=f(n) é decrescente a partir de n=2. Assim, pelo teste de Leibniz, a série alternada converge.
Passo 4
Como a série não converge absolutamente e converge pelo teste de séries alternadas, concluímos que a convergência é condicional.
Resposta
A série converge condicionalmente, e os critérios usados foram o teste da comparação limite (para mostrar que não converge absolutamente) e o teste de Leibniz (para mostrar a convergência alternada).