Decida se as series abaixo convergem absolutamente, condicionalmente ou divergem. Justifique. Qual foi o critério de convergência utilizado?
\sum_{n=1}{\infty}(-1){n+1} \cdot \frac{n{2}}{n{3}+4}

Passo 1

O enunciado pede para a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\,\frac{n^{2}}{n^{3}+4}
ser classificada como convergente absolutamente, convergente condicionalmente ou divergente. O conteúdo da matéria envolve testes de convergência de séries alternadas (teste de Leibniz) e de séries de termos positivos (comparação e teste da série p). Vamos usar o critério de comparação limite para a convergência absoluta e o teste de Leibniz para a convergência alternada.

Passo 2

Estudo da convergência absoluta. Consideramos
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl|\!(-1)^{n+1}\frac{n^{2}}{n^{3}+4}\Bigr| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}}{n^{3}+4}.
Para comparar com a série harmônica \sum 1/n, calculamos
\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n^{2}}{n^{3}+4}}{\frac{1}{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n^{3}}{n^{3}+4} =1.
Como a série harmônica diverge e o limite é finito e não nulo, nossa série de termos positivos também diverge. Logo, a série original não converge absolutamente.

Passo 3

Teste da série alternada (Leibniz). Definimos
a_{n}=\frac{n^{2}}{n^{3}+4},
que é positivo para todo n. Precisamos verificar duas condições:
  1. \lim_{n\to\infty}a_{n}=0.
  2. (a_{n}) é monotonicamente decrescente para n suficientemente grande.
Primeiro,
\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{n^{3}+4}=0.
Depois, note que a função contínua
f(x)=\frac{x^{2}}{x^{3}+4}
tem derivada
f'(x) =\frac{2x(x^{3}+4)-3x^{2}\cdot x^{2}}{(x^{3}+4)^{2}} =\frac{-x^{4}+8x}{(x^{3}+4)^{2}},
que é negativa para x\ge2. Logo, a_{n}=f(n) é decrescente a partir de n=2. Assim, pelo teste de Leibniz, a série alternada converge.

Passo 4

Como a série não converge absolutamente e converge pelo teste de séries alternadas, concluímos que a convergência é condicional.

Resposta

A série converge condicionalmente, e os critérios usados foram o teste da comparação limite (para mostrar que não converge absolutamente) e o teste de Leibniz (para mostrar a convergência alternada).

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