Considere uma sequência de tentativas independentes em que a probabilidade de sucesso é 0,3 . Qual é a probabilidade de que o 3^circ sucesso ocorra na 5^ a tentativa?

Passo 1

De boa! O enunciado diz assim: temos várias tentativas independentes, cada uma com probabilidade de sucesso igual a 0,3. A pergunta é: “Qual é a probabilidade de o 3º sucesso acontecer exatamente na 5ª tentativa?”
Conteúdo: distribuição binomial negativa (ou Pascal). Vamos precisar de:
  • Entender que, para a terceira vitória sair no quinto jogo, precisamos de exatamente 2 sucessos nas primeiras 4 tentativas e um sucesso na 5ª.
  • Usar a fórmula da binomial negativa:
P(X = n) = binomn-1r-1,p^r,(1-p)^,n-r
onde é o número de sucessos (aqui 3), é a tentativa onde esse sucesso ocorre (aqui 5), e .

Passo 2

Vamos aplicar a ideia chave: “o 3º sucesso no 5º teste” significa:
  1. Nas primeiras 4 tentativas, só podem ter rolado exatamente 2 sucessos.
  2. Na 5ª, chega o sucesso de número 3.
Por isso a fórmula vira:
P(X=5) = binom5-13-1;p^3;(1-p)^5-3

Passo 3

Calcular o coeficiente binomial:
binom5-13-1 ;=; binom42 ;=; 4!2!,2! = 242cdot2 = 6

Passo 4

Agora as potências:
p^3 = 0,3^3 = 0,027 e (1-p)^2 = 0,7^2 = 0,49
Multiplica tudo:
6 times 0,027 times 0,49

Passo 5

Fazendo a conta:
6 times 0,027 = 0,162 e 0,162 times 0,49 approx 0,07938

Resposta

A probabilidade de o 3º sucesso ocorrer na 5ª tentativa é aproximadamente
boxed0,07938(ou 7,938%)

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