Em uma prova, a probabilidade de um aluno acertar uma questão é de 0,7. Se a prova tem 10 questões, qual é a probabilidade de que ele acerte exatamente 7 questões?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que um aluno tem probabilidade de 0,7 de acertar cada questão (independente umas das outras) e a prova tem 10 questões. A pergunta é: qual a probabilidade de ele acertar exatamente 7 delas?
Conteúdo: vamos usar distribuição binomial e combinatória. Precisamos saber a fórmula da binomial e como calcular combinações e potências.

Passo 2

Na teoria, quando a gente tem n ensaios independentes (aí, n=10 questões) e cada ensaio tem probabilidade p de “sucesso” (acertar a questão), a chance de ter exatamente k sucessos é dada por:
P(X=k)=binomnk,p^k,(1-p)^,n-k
Aqui:
- binomnk é o número de jeitos de escolher quais k questões foram acertadas (combinação).
- p^k é a chance de acertar essas k.
- (1-p)^n-k é a chance de errar as outras.

Passo 3

Vamos calcular a combinação:
binom107=10!7!,3!
Isso dá:
10! = 10×9×8×7!
Logo
binom107=10×9×8×7!7!×3×2×1=10×9×86=120

Passo 4

Agora as potências:
  • p^7 = 0.7^7. Se calcular direitinho dá cerca de 0.0823543.
  • (1-p)^3 = 0.3^3 = 0.027

Passo 5

Multiplicando tudo na fórmula binomial:
P(X=7)=120times 0.7^7 times 0.3^3 =120times 0.0823543times 0.027 approx 0.2668

Resposta

A probabilidade de ele acertar exatamente 7 questões é cerca de 0.2668 (ou 26,68%!)

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