Considere a sequência de termo geral dado por an=1 cdot 3 cdot 5 cdot 7 cdots(2 n-1)2 cdot 4 cdot 6 cdots 2 n.
Mostre que ( an ) é convergente.

Passo 1

Vamos resolver um exercício que pede para mostrar que a sequência $ a_{n} = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdots (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots 2n} $ é convergente. Para isso, vamos precisar entender conceitos de sequências, limites e como analisar o comportamento dos termos quando $ n $ cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor como a sequência $ a_n $ é formada. O numerador é o produto dos primeiros $ n $ números ímpares, e o denominador é o produto dos primeiros $ n $ números pares.

Passo 3

Podemos reescrever $ a_n $ de uma forma que facilite a análise. Observe que cada termo no numerador pode ser escrito como $ 2k - 1 $ e no denominador como $ 2k $, onde $ k $ varia de 1 a $ n $. Então:
an

Passo 4

Agora, vamos simplificar cada fração individualmente:
2k - 12k = 1 - 12k
Portanto, a sequência fica:
an = prodk=1^n (1 - 12k)

Passo 5

Para analisar o limite de $ a_n $ quando $ n $ tende ao infinito, podemos observar que cada termo $ \left(1 - \frac{1}{2k}\right) $ é menor que 1. Quando multiplicamos muitos termos menores que 1, o produto tende a diminuir.

Passo 6

Vamos utilizar a propriedade de limites de produtos infinitos. Se $ \prod_{k=1}^{n} \left(1 - a_k\right) $ onde $ a_k > 0 $ e $ \sum_{k=1}^{\infty} a_k $ diverge, então o produto tende a zero.
No nosso caso, $ a_k = \frac{1}{2k} $ e a série $ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2k} $ é uma série harmônica que diverge.

Passo 7

Como a soma $ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2k} $ diverge, então o produto $ \prod_{k=1}^{\infty} \left(1 - \frac{1}{2k}\right) $ tende a zero.

Passo 8

Portanto, concluímos que:
limn to infty an = 0
Isso significa que a sequência $ a_n $ é convergente e seu limite é zero.

Resposta

A sequência $ a_{n} $ é convergente e seu limite é 0.

Exercícios relacionados