Considere a sequência de termo geral dado por
.
Mostre que (
) é convergente.
Mostre que (
Passo 1
Vamos resolver um exercício que pede para mostrar que a sequência $ a_{n} = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdots (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots 2n} $ é convergente. Para isso, vamos precisar entender conceitos de sequências, limites e como analisar o comportamento dos termos quando $ n $ cresce.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor como a sequência $ a_n $ é formada. O numerador é o produto dos primeiros $ n $ números ímpares, e o denominador é o produto dos primeiros $ n $ números pares.
Passo 3
Podemos reescrever $ a_n $ de uma forma que facilite a análise. Observe que cada termo no numerador pode ser escrito como $ 2k - 1 $ e no denominador como $ 2k $, onde $ k $ varia de 1 a $ n $. Então:
Passo 4
Agora, vamos simplificar cada fração individualmente:
Portanto, a sequência fica:
Passo 5
Para analisar o limite de $ a_n $ quando $ n $ tende ao infinito, podemos observar que cada termo $ \left(1 - \frac{1}{2k}\right) $ é menor que 1. Quando multiplicamos muitos termos menores que 1, o produto tende a diminuir.
Passo 6
Vamos utilizar a propriedade de limites de produtos infinitos. Se $ \prod_{k=1}^{n} \left(1 - a_k\right) $ onde $ a_k > 0 $ e $ \sum_{k=1}^{\infty} a_k $ diverge, então o produto tende a zero.
No nosso caso, $ a_k = \frac{1}{2k} $ e a série $ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2k} $ é uma série harmônica que diverge.
Passo 7
Como a soma $ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2k} $ diverge, então o produto $ \prod_{k=1}^{\infty} \left(1 - \frac{1}{2k}\right) $ tende a zero.
Passo 8
Portanto, concluímos que:
Isso significa que a sequência $ a_n $ é convergente e seu limite é zero.
Resposta
A sequência $ a_{n} $ é convergente e seu limite é 0.