Sejam z(x, y)=x^x^2 y+x^2 y^2+y^2(y+y^2)+y^2, x(t)=t^-1 e y(t)=2 t^2.
Use a Regra da Cadeia para calcular d zd t em t=1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular dzdt onde z(x,y)=x^x^2y+x^2y^2+y^2(y+y^2)+y^2, com x(t)=t^-1 e y(t)=2t^2. Vamos usar a regra da cadeia: tfracdzdt=zx,x'(t)+zy,y'(t), então precisamos de zx, zy, x'(t) e y'(t).

Passo 2

Para achar zx, escrevemos z=A,B+y^2, onde A=x^u, B=y+y^2 e u=x^2y+x^2y^2+y^2. Sabendo que ddx[x^u]=x^ul(u'ln x+u/xr) e partial u/partial x=2xy+2xy^2, obtemos
partial zpartial x = Al((2xy+2xy^2)ln x + tfracuxr),B

Passo 3

Para achar zy, usamos A=x^u, B=y+y^2, partial u/partial y=x^2+2x^2y+2y e B'=1+2y. Como partial A/partial y=A,(partial u/partial y)ln x, temos
partial zpartial y = partial Apartial y,B + A,B' + 2y

Passo 4

Agora avaliamos em t=1: x=1, y=2. Então
u=1^2cdot2+1^2cdot2^2+2^2=10, A=1^10=1, B=2+4=6, ln1=0
Logo
zx=1cdottfrac101cdot6=60, zy=0cdot6+1cdot(1+4)+4=9

Passo 5

Calculamos x'(t)=-t^-2 e y'(t)=4t. Em t=1 x'(1)=-1 e y'(1)=4. Aplicando a regra da cadeia:
dzdtg|t=1=60cdot(-1)+9cdot4=-60+36=-24

Resposta

-24

Exercícios relacionados