Considere a sequência de termo geral dado por
.
Mostre que
é convergente.
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para analisar a sequência definida por:
O conteúdo envolvido aqui é de sequências e limites, mais especificamente, queremos mostrar que essa sequência é convergente, ou seja, que ela se aproxima de um determinado valor à medida que $ n $ cresce. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular produtos e aplicar fórmulas de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência $ a_{n} $. Observe que o numerador é o produto dos primeiros $ n $ números ímpares e o denominador é o produto dos primeiros $ n $ números pares.
Podemos reescrever esses produtos de uma forma mais conveniente usando fatorial. Lembre-se que:
No numerador, temos apenas os termos ímpares, que podem ser expressos como:
E o denominador é o produto dos números pares:
Então, substituindo na expressão original:
Passo 3
Agora, para analisar o comportamento de $ a_{n} $ quando $ n $ tende ao infinito, vamos utilizar a fórmula de Stirling, que aproxima o fatorial de um número grande $ n $:
Aplicando a Stirling para $ (2n)! $ e $ n! $:
Substituindo na expressão de $ a_{n} $:
Simplificando:
Passo 4
Agora, observamos que:
À medida que $ n $ cresce, $ \sqrt{n} $ também cresce, o que faz com que $ \frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{n}} $ diminua. Portanto, quando $ n $ tende ao infinito:
Resposta
O limite da sequência $ (a_{n}) $ é 0, ou seja, a sequência é convergente e se aproxima de zero à medida que $ n $ aumenta.