Considere a sequência de termo geral dado por an=1 cdot 3 cdot 5 cdot 7 cdots(2 n-1)2 cdot 4 cdot 6 cdots 2 n.
Mostre que (an) é convergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para analisar a sequência definida por:
an = 1 cdot 3 cdot 5 cdot 7 cdots (2n-1)2 cdot 4 cdot 6 cdots 2n
O conteúdo envolvido aqui é de sequências e limites, mais especificamente, queremos mostrar que essa sequência é convergente, ou seja, que ela se aproxima de um determinado valor à medida que $ n $ cresce. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular produtos e aplicar fórmulas de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência $ a_{n} $. Observe que o numerador é o produto dos primeiros $ n $ números ímpares e o denominador é o produto dos primeiros $ n $ números pares.
Podemos reescrever esses produtos de uma forma mais conveniente usando fatorial. Lembre-se que:
an
No numerador, temos apenas os termos ímpares, que podem ser expressos como:
n
E o denominador é o produto dos números pares:
n
Então, substituindo na expressão original:
(2n)! = 2n cdot (2n-1) cdot (2n-2) cdots 2 cdot 1

Passo 3

Agora, para analisar o comportamento de $ a_{n} $ quando $ n $ tende ao infinito, vamos utilizar a fórmula de Stirling, que aproxima o fatorial de um número grande $ n $:
an
Aplicando a Stirling para $ (2n)! $ e $ n! $:
n
n
Substituindo na expressão de $ a_{n} $:
n! approx n^n e^-n raiz2pi n
Simplificando:
(2n)!
n!
(2n)! approx (2n)^2n e^-2n raiz4pi n

Passo 4

Agora, observamos que:
an approx raizpiraizn
À medida que $ n $ cresce, $ \sqrt{n} $ também cresce, o que faz com que $ \frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{n}} $ diminua. Portanto, quando $ n $ tende ao infinito:
n

Resposta

O limite da sequência $ (a_{n}) $ é 0, ou seja, a sequência é convergente e se aproxima de zero à medida que $ n $ aumenta.

Exercícios relacionados