Questão:(2.0 pontos) Considere a função:
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Determine o vetor unitário na direção e sentido em que g cresce mais rapidamente em
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Determine o vetor unitário na direção e sentido em que g cresce mais rapidamente em
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver um exercício sobre cálculo de vetores e derivadas parciais. A questão pede para achar o vetor unitário na direção em que a função $ g(x, y) = \frac{xy}{1 + x^2 + y^2} $ cresce mais rápido no ponto $ P $. Para isso, vamos precisar entender o que é o gradiente e como ele indica a direção de crescimento mais rápido de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o vetor gradiente de uma função multivariável aponta na direção onde a função cresce mais rapidamente. Então, para encontrar o vetor que a gente quer, precisamos calcular o gradiente de $ g(x, y) $.
Passo 3
O gradiente de $ g $ é dado pelas derivadas parciais de $ g $ em relação a $ x $ e $ y $. Vamos calcular cada uma delas.
Para $ \frac{\partial g}{\partial x} $:
Para $ \frac{\partial g}{\partial y} $:
Passo 4
Agora, juntando as derivadas parciais, o vetor gradiente $ \nabla g $ fica:
Passo 5
Esse vetor gradiente aponta na direção onde $ g $ cresce mais rapidamente. Mas a questão pede um vetor unitário, ou seja, com comprimento igual a 1. Para isso, vamos normalizar o gradiente.
Passo 6
A normalização é feita dividindo o vetor pelo seu módulo (comprimento). Primeiro, calculamos o módulo de $ \nabla g $:
Passo 7
Então, o vetor unitário $ \mathbf{u} $ na direção onde $ g $ cresce mais rapidamente é:
Resposta
O vetor unitário na direção em que $ g(x, y) = \frac{xy}{1 + x^2 + y^2} $ cresce mais rapidamente no ponto $ P $ é dado por: