Questão:(2.0 pontos) Considere a função: g(x, y)=x y1+x^2+y^2.
Determine o vetor unitário na direção e sentido em que g cresce mais rapidamente em P.

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver um exercício sobre cálculo de vetores e derivadas parciais. A questão pede para achar o vetor unitário na direção em que a função $ g(x, y) = \frac{xy}{1 + x^2 + y^2} $ cresce mais rápido no ponto $ P $. Para isso, vamos precisar entender o que é o gradiente e como ele indica a direção de crescimento mais rápido de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o vetor gradiente de uma função multivariável aponta na direção onde a função cresce mais rapidamente. Então, para encontrar o vetor que a gente quer, precisamos calcular o gradiente de $ g(x, y) $.

Passo 3

O gradiente de $ g $ é dado pelas derivadas parciais de $ g $ em relação a $ x $ e $ y $. Vamos calcular cada uma delas.
Para $ \frac{\partial g}{\partial x} $:
g
Para $ \frac{\partial g}{\partial y} $:
g

Passo 4

Agora, juntando as derivadas parciais, o vetor gradiente $ \nabla g $ fica:
nabla g

Passo 5

Esse vetor gradiente aponta na direção onde $ g $ cresce mais rapidamente. Mas a questão pede um vetor unitário, ou seja, com comprimento igual a 1. Para isso, vamos normalizar o gradiente.

Passo 6

A normalização é feita dividindo o vetor pelo seu módulo (comprimento). Primeiro, calculamos o módulo de $ \nabla g $:
nabla g

Passo 7

Então, o vetor unitário $ \mathbf{u} $ na direção onde $ g $ cresce mais rapidamente é:
u

Resposta

O vetor unitário na direção em que $ g(x, y) = \frac{xy}{1 + x^2 + y^2} $ cresce mais rapidamente no ponto $ P $ é dado por:
g(x, y) = xy1 + x^2 + y^2

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