Questão:( 4.0 pontos) Calcule as integrais:
; onde
está no primeiro quadrante e é limitada pela circunferência
e pelos eixos coordenados.
Passo 1
Neste exercício vamos calcular a integral dupla
, onde
é o quarto de disco de raio
no primeiro quadrante. O conteúdo é mudança para coordenadas polares e o que precisamos é usar
,
e
.
Passo 2
Passamos para coordenadas polares. Como
é o quarto de disco, temos
variando de
a
e
de
a
. Assim a integral vira
$$\iint_{D} e{-(x2+y^2)},dA
= \int_{0}{\pi/2}\int_{0}{a} e{-r2},r,dr,d\theta$$
Passo 3
Calculamos a integral interna em
. Fazendo a substituição
,
, obtemos
Passo 4
Agora integramos em
, lembrando que o resultado da integral em
é constante em
: