Questão:( 4.0 pontos) Calcule as integrais:
integral duplaD e^-(x^2+y^2) d A; onde D está no primeiro quadrante e é limitada pela circunferência x^2+y^2=a^2 e pelos eixos coordenados.

Passo 1

Neste exercício vamos calcular a integral dupla integral duplaD e^-(x^2+y^2),dA, onde D é o quarto de disco de raio a no primeiro quadrante. O conteúdo é mudança para coordenadas polares e o que precisamos é usar x=rcostheta, y=rsintheta e dA=r,dr,dtheta.

Passo 2

Passamos para coordenadas polares. Como D é o quarto de disco, temos r variando de 0 a a e theta de 0 a pi/2. Assim a integral vira
$$\iint_{D} e{-(x2+y^2)},dA
= \int_{0}{\pi/2}\int_{0}{a} e{-r2},r,dr,d\theta$$

Passo 3

Calculamos a integral interna em r. Fazendo a substituição u=-r^2, du=-2r,dr, obtemos
integral0^a r e^-r^2,dr = -tfrac12 integral0^-a^2 e^u,du = tfrac12l(1 - e^-a^2r)

Passo 4

Agora integramos em theta, lembrando que o resultado da integral em r é constante em theta:
integral0^pi/2 tfrac12(1-e^-a^2),dtheta = tfrac12(1-e^-a^2) cdot tfracpi2 = tfracpi4l(1-e^-a^2r)

Resposta

pi4l(1 - e^-a^2r)

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