Considere a sequência de termo geral dado por
an=1 cdot 3 cdot 5 cdot 7 cdots(2 n-1)2 cdot 4 cdot 6 cdot cdots 2 n
Exprima an+1 em função de an;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência definida por
an = 1 cdot 3 cdot 5 cdot 7 cdots (2n-1)2 cdot 4 cdot 6 cdot cdots cdot 2n
O objetivo aqui é encontrar uma expressão para an+1 em termos de an. Para isso, vamos usar conceitos de sequências recursivas, onde cada termo da sequência é definido com base no termo anterior.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o termo an+1 usando a mesma fórmula da sequência:
an+1 = 1 cdot 3 cdot 5 cdot 7 cdots (2n+1)2 cdot 4 cdot 6 cdot cdots cdot 2(n+1)
Perceba que no numerador temos os primeiros (n+1) números ímpares e no denominador os primeiros (n+1) números pares.

Passo 3

Agora, observamos que podemos relacionar an+1 com an. Note que:
an = 1 cdot 3 cdot 5 cdot cdots cdot (2n-1)2 cdot 4 cdot 6 cdot cdots cdot 2n
Se multiplicarmos numerador e denominador de an por (2n+1) e 2(n+1), respectivamente, teremos exatamente an+1:
an+1 = an times 2n + 12(n + 1)

Resposta

Então, a expressão de an+1 em função de an é:
an+1 = an cdot 2n + 12(n + 1)

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