Considere a sequência de termo geral dado por
Mostre que (
) é estritamente decrescente;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência definida por:
O objetivo é mostrar que essa sequência é estritamente decrescente, ou seja, que cada termo é menor que o anterior. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre sequências e como comparar termos consecutivos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a sequência ser estritamente decrescente. Isso quer dizer que, para todo $ n $, o próximo termo $ a_{n+1} $ é menor que o termo atual $ a_n $:
Então, nosso objetivo é provar que essa desigualdade é sempre verdadeira para a sequência dada.
Passo 3
Vamos expressar $ a_{n+1} $ usando a fórmula geral da sequência:
Simplificando os termos dentro do produto:
Aqui, usamos que $ a_n $ é até $ (2n-1)/(2n) $, então multiplicamos pelo próximo termo $ (2n+1)/(2n+2) $.
Passo 4
Agora, queremos comparar $ a_{n+1} $ com $ a_n $. Vamos formar a razão entre eles:
Simplificando, temos:
Passo 5
Para que $ a_{n+1} < a_n $, essa razão precisa ser menor que 1:
Vamos verificar isso:
Subtraindo $ 2n $ de ambos os lados:
o que é sempre verdade.
Resposta
Portanto, mostramos que $ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2n+1}{2n+2} < 1 $ para todo $ n $, o que prova que a sequência $ a_n $ é estritamente decrescente.