Considere a sequência de termo geral dado por
an=1 cdot 3 cdot 5 cdot 7 cdots(2 n-1)2 cdot 4 cdot 6 cdot cdots 2 n
Mostre que ( an ) é estritamente decrescente;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência definida por:
an=1 cdot 3 cdot 5 cdot 7 cdots (2n-1)2 cdot 4 cdot 6 cdot cdots cdot 2n
O objetivo é mostrar que essa sequência é estritamente decrescente, ou seja, que cada termo é menor que o anterior. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre sequências e como comparar termos consecutivos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a sequência ser estritamente decrescente. Isso quer dizer que, para todo $ n $, o próximo termo $ a_{n+1} $ é menor que o termo atual $ a_n $:
n
Então, nosso objetivo é provar que essa desigualdade é sempre verdadeira para a sequência dada.

Passo 3

Vamos expressar $ a_{n+1} $ usando a fórmula geral da sequência:
an+1
Simplificando os termos dentro do produto:
an+1 = 1 cdot 3 cdot 5 cdot cdots cdot (2(n+1)-1)2 cdot 4 cdot 6 cdot cdots cdot 2(n+1)
Aqui, usamos que $ a_n $ é até $ (2n-1)/(2n) $, então multiplicamos pelo próximo termo $ (2n+1)/(2n+2) $.

Passo 4

Agora, queremos comparar $ a_{n+1} $ com $ a_n $. Vamos formar a razão entre eles:
an+1
Simplificando, temos:
an

Passo 5

Para que $ a_{n+1} < a_n $, essa razão precisa ser menor que 1:
an+1 < an
Vamos verificar isso:
2n+12n+2 < 1
Subtraindo $ 2n $ de ambos os lados:
2n + 1 < 2n + 2
o que é sempre verdade.

Resposta

Portanto, mostramos que $ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2n+1}{2n+2} < 1 $ para todo $ n $, o que prova que a sequência $ a_n $ é estritamente decrescente.

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