Seja
uma função satisfazendo
para todo
.
é contínua em
? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ que, para todo número real $ x $, está limitada entre $ x \sin x + 1 $ e $ x^{2} + 1 $. Nosso objetivo é descobrir se essa função é contínua no ponto $ p = 0 $. Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de teorema do sanduíche (ou teorema da compressão), que é uma ferramenta bem útil em cálculo para determinar limites de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ser contínuo em um ponto. Uma função $ f $ é contínua em $ p = 0 $ se o limite dela quando $ x $ se aproxima de 0 for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
Então, precisamos calcular esse limite.
Passo 3
Agora, vamos calcular os limites das funções que estão “sanduicheando” $ f(x) $. Vamos ver o que acontece com $ x \sin x + 1 $ e $ x^{2} + 1 $ quando $ x $ se aproxima de 0.
Para $ x \sin x + 1 $:
Para $ x^{2} + 1 $:
Passo 4
Como $ f(x) $ está sempre entre $ x \sin x + 1 $ e $ x^{2} + 1 $, e ambos os limites dessas funções quando $ x $ tende a 0 são iguais a 1, pelo teorema do sanduíche, o limite de $ f(x) $ também será 1:
Agora, precisamos verificar o valor de $ f(0) $. Se a função for contínua, então $ f(0) $ também deve ser 1.
Resposta
Sim, a função $ f $ é contínua em $ p = 0 $, porque o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 0 é igual a $ f(0) $, que é 1.