Seja f: R R uma função satisfazendo x sen x+1 <= f(x) <= x^2+1 para todo x in R.
f é contínua em p=0 ? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ que, para todo número real $ x $, está limitada entre $ x \sin x + 1 $ e $ x^{2} + 1 $. Nosso objetivo é descobrir se essa função é contínua no ponto $ p = 0 $. Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de teorema do sanduíche (ou teorema da compressão), que é uma ferramenta bem útil em cálculo para determinar limites de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ser contínuo em um ponto. Uma função $ f $ é contínua em $ p = 0 $ se o limite dela quando $ x $ se aproxima de 0 for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
f
Então, precisamos calcular esse limite.

Passo 3

Agora, vamos calcular os limites das funções que estão “sanduicheando” $ f(x) $. Vamos ver o que acontece com $ x \sin x + 1 $ e $ x^{2} + 1 $ quando $ x $ se aproxima de 0.
Para $ x \sin x + 1 $:
f(x)
Para $ x^{2} + 1 $:
x sin x + 1

Passo 4

Como $ f(x) $ está sempre entre $ x \sin x + 1 $ e $ x^{2} + 1 $, e ambos os limites dessas funções quando $ x $ tende a 0 são iguais a 1, pelo teorema do sanduíche, o limite de $ f(x) $ também será 1:
f(x)
Agora, precisamos verificar o valor de $ f(0) $. Se a função for contínua, então $ f(0) $ também deve ser 1.

Resposta

Sim, a função $ f $ é contínua em $ p = 0 $, porque o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 0 é igual a $ f(0) $, que é 1.

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