Considere a série sumn=1^+infty 1-n2^n+1 para resolver os itens abaixo.
Determine os números reais A, B que nos permite escrever
1-n2^n+1=n+A2^n+1+B n2^n

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. A gente tem uma série matemática:
sumn=1^+infty 1 - n2^n+1
E a tarefa é encontrar dois números reais, $ A $ e $ B $, que permitem reescrever cada termo dessa série da seguinte forma:
A
Vamos precisar usar álgebra para manipular essas expressões e descobrir os valores de $ A $ e $ B $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação que precisamos resolver:
1 - n2^n+1 = n + A2^n+1 + B n2^n
Nosso objetivo é encontrar $ A $ e $ B $ de forma que essa igualdade seja verdadeira para todo valor de $ n $.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão do lado direito para facilitar a comparação com o lado esquerdo. Primeiro, observe que ambos os termos do lado direito têm denominadores diferentes, então vamos colocá-los com o mesmo denominador:
n + A2^n+1 + B n2^n = n + A2^n+1 + B n cdot 22^n+1 = n + A + 2 B n2^n+1
Agora, a expressão fica:
n + A + 2 B n2^n+1

Passo 4

Agora, temos as duas expressões com o mesmo denominador:
Lado esquerdo:
1 - n2^n+1
Lado direito:
n + A + 2 B n2^n+1
Como os denominadores são iguais, os numeradores também devem ser iguais para que a igualdade seja verdadeira:
1 - n = n + A + 2 B n

Passo 5

Vamos reorganizar a equação para agrupar os termos semelhantes:
1 - n = n + A + 2 B n
Primeiro, vamos juntar os termos que contêm $ n $:
n
Mas na verdade, é mais simples mover todos os termos para um lado:
- n - n - 2 B n = A - 1
Então,
1 - n - n - A - 2 B n = 0

Passo 6

Para que a equação seja verdadeira para todo $ n $, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Ou seja:
  1. O coeficiente de $ n $ do lado esquerdo deve igualar ao do lado direito:
n
  1. O termo constante também deve ser igual:
n

Passo 7

Vamos resolver essas duas equações:
  1. Para o coeficiente de $ n $:
n
  1. Para o termo constante:
-1 = -(1 + 2 B) -1 = -1 - 2 B -1 + 1 = -2 B 0 = -2 B B = 0

Resposta

Os números reais que satisfazem a equação são $ A = 1 $ e $ B = 0 $.

Exercícios relacionados