Considere a série
para resolver os itens abaixo.
Determine os números reais
que nos permite escrever
Determine os números reais
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. A gente tem uma série matemática:
E a tarefa é encontrar dois números reais, $ A $ e $ B $, que permitem reescrever cada termo dessa série da seguinte forma:
Vamos precisar usar álgebra para manipular essas expressões e descobrir os valores de $ A $ e $ B $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação que precisamos resolver:
Nosso objetivo é encontrar $ A $ e $ B $ de forma que essa igualdade seja verdadeira para todo valor de $ n $.
Passo 3
Vamos simplificar a expressão do lado direito para facilitar a comparação com o lado esquerdo. Primeiro, observe que ambos os termos do lado direito têm denominadores diferentes, então vamos colocá-los com o mesmo denominador:
Agora, a expressão fica:
Passo 4
Agora, temos as duas expressões com o mesmo denominador:
Lado esquerdo:
Lado direito:
Como os denominadores são iguais, os numeradores também devem ser iguais para que a igualdade seja verdadeira:
Passo 5
Vamos reorganizar a equação para agrupar os termos semelhantes:
Primeiro, vamos juntar os termos que contêm $ n $:
Mas na verdade, é mais simples mover todos os termos para um lado:
Então,
Passo 6
Para que a equação seja verdadeira para todo $ n $, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Ou seja:
- O coeficiente de $ n $ do lado esquerdo deve igualar ao do lado direito:
- O termo constante também deve ser igual:
Passo 7
Vamos resolver essas duas equações:
- Para o coeficiente de $ n $:
- Para o termo constante:
Resposta
Os números reais que satisfazem a equação são $ A = 1 $ e $ B = 0 $.