Considere a sequência de termo geral dado por
. Faça o que se pede:
(a) Exprima
em função de
;
(b) Mostre que (
) é estritamente decrescente;
(c) Mostre que (
) é convergente.
(a) Exprima
(b) Mostre que (
(c) Mostre que (
Passo 1
O enunciado define a sequência
e pede: (a) a relação entre
e
; (b) provar que
é estritamente decrescente; (c) mostrar que
é convergente. O conteúdo aqui é análise de sequência, usando razão de termos consecutivos e o critério de sequência monótona.
Passo 2
Para obter
em função de
, escrevemos
e notamos que o produto até
é exatamente
. Assim
Passo 3
Para verificar que
é estritamente decrescente, basta observar que, para todo
,
Como
, segue que
. Logo a sequência é estritamente decrescente.
Passo 4
Note que todos os
são positivos, então
é limitada inferiormente por
. Uma sequência estritamente decrescente e limitada inferiormente converge (teorema da sequência monótona). Portanto
é convergente.
Resposta
(a)
\n
(b) Como , segue
, logo é estritamente decrescente.\n
(c) Por ser decrescente e limitada abaixo por ,
converge.
(b) Como
(c) Por ser decrescente e limitada abaixo por