Considere a sequência de termo geral dado por an=1 cdot 3 cdot 5 cdot 7 cdots(2 n-1)2 cdot 4 cdot 6 cdots 2 n. Faça o que se pede:
(a) Exprima an+1 em função de an;
(b) Mostre que ( an ) é estritamente decrescente;
(c) Mostre que ( an ) é convergente.

Passo 1

O enunciado define a sequência
an = 1cdot3cdot5cdots(2n-1)2cdot4cdot6cdots(2n)
e pede: (a) a relação entre an+1 e an; (b) provar que (an) é estritamente decrescente; (c) mostrar que (an) é convergente. O conteúdo aqui é análise de sequência, usando razão de termos consecutivos e o critério de sequência monótona.

Passo 2

Para obter an+1 em função de an, escrevemos
an+1 = 1cdot3cdot5cdots(2n-1),(2n+1)2cdot4cdot6cdots(2n),(2n+2)
e notamos que o produto até (2n-1)/(2n) é exatamente an. Assim
an+1an = 2n+12n+2 Longrightarrow an+1 = an,2n+12n+2

Passo 3

Para verificar que (an) é estritamente decrescente, basta observar que, para todo n>=1,
2n+12n+2 < 1
Como an+1=an,(2n+1)/(2n+2), segue que an+1<an. Logo a sequência é estritamente decrescente.

Passo 4

Note que todos os an são positivos, então (an) é limitada inferiormente por 0. Uma sequência estritamente decrescente e limitada inferiormente converge (teorema da sequência monótona). Portanto (an) é convergente.

Resposta

(a) an+1=an,2n+12n+2\n
(b) Como tfrac2n+12n+2<1, segue an+1<an, logo é estritamente decrescente.\n
(c) Por ser decrescente e limitada abaixo por 0, (an) converge.

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