Determine os seguintes limites.
lim x +infty tan (pi-1x)+ln (x)

Passo 1

O enunciado pede
limxto+inftyl(tanl(pi - tfrac1xr)+ln(x)r)
O conteúdo aqui envolve limites, aproximação para ângulos pequenos (série de Taylor de tan) e o comportamento do ln(x) quando xto+infty.

Passo 2

Para x muito grande, defina varepsilon = 1/x, de modo que varepsilonto0^+. Usamos a identidade
tan(pi - varepsilon) = -tan(varepsilon)
Como varepsilonto0, vale a aproximação de primeiro ordem
tan(varepsilon)=varepsilon + o(varepsilon)
Então
tanl(pi - tfrac1xr) =-tan(varepsilon) =-varepsilon + o(varepsilon) =-tfrac1x + ol(tfrac1xr)

Passo 3

Somando com ln(x), obtemos
tanl(pi-tfrac1xr)+ln(x) =ln(x)-tfrac1x + ol(tfrac1xr)
Como ln(x)to+infty e tfrac1xto0, o termo dominante é ln(x) que diverge para +infty.

Resposta

+infty

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