Use identidades trigonométricas para encontrar a solução geral da equação y "+9 y=sen^4 x.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear de segunda ordem não-homogênea
y'' + 9y = sin^4x
O conteúdo envolvido é usar identidades trigonométricas para reescrever o termo forçante e então aplicar o método dos coeficientes indeterminados para achar uma solução particular, somada à solução geral da equação homogênea.

Passo 2

Usamos a identidade
sin^2x = 1 - cos(2x)2
para obter
sin^4x = gl(1 - cos(2x)2gr)^2 = 1 - 2cos(2x) + cos^2(2x)4 = 14 - cos(2x)2 + 1 + cos(4x)8,
ou seja
sin^4x = 38 ;-;12cos(2x);+;18cos(4x)

Passo 3

A equação homogênea associada é
y'' + 9y = 0
A equação característica é r^2 + 9 = 0, com raízes r = pm 3i. Portanto a solução geral homogênea é
yh(x) = C1cos(3x) + C2sin(3x)

Passo 4

Para o termo constante tfrac38 propomos
yp1 = A,
logo yp1''=0 e a equação dá
9A = 38,
de onde
A = 124

Passo 5

Para o termo -tfrac12cos(2x) propomos
yp2 = Bcos(2x) + Dsin(2x)
Calculando yp2'' = -4Bcos(2x) -4Dsin(2x) e somando 9yp2 obtém-se
yp2'' + 9yp2 = (5B)cos(2x) + (5D)sin(2x) ;=; -12cos(2x)
Assim 5B = -tfrac12Rightarrow B = -tfrac110 e 5D=0Rightarrow D=0, ou seja
yp2 = -110cos(2x)

Passo 6

Para o termo tfrac18cos(4x) propomos
yp3 = Ecos(4x) + Fsin(4x)
Aqui yp3'' = -16Ecos(4x) -16Fsin(4x), de modo que
yp3'' + 9yp3 = (-7E)cos(4x) + (-7F)sin(4x) ;=; 18cos(4x)
Logo -7E = tfrac18Rightarrow E = -tfrac156 e -7F=0Rightarrow F=0, ficando
yp3 = -156cos(4x)

Passo 7

A solução particular completa é
yp(x) = 124;-;110cos(2x);-;156cos(4x),
e a solução geral da equação original é
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1cos(3x) + C2sin(3x) + 124 - 110cos(2x) - 156cos(4x)

Resposta

boxedy(x) = C1cos(3x) + C2sin(3x) + 124 - 110cos(2x) - 156cos(4x)

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