Considere a sequência x(n) dada por x(n)=\alpha^{n} u(n). Suponha que |\alpha|<1. Uma sequência periódica \tilde{x}(n) é construída da seguinte forma:
\tilde{x}(n)=\sum_{r=-\infty}^{\infty} x(n+r N)
a. Determine a transformada de Fourier de x(n). Resposta: X\left(e^{j \omega}\right)=\frac{1}{1-\alpha e^{-j \omega}}, |\alpha|<1
b. Determine os coeficientes da SFD de \tilde{x}(n). Resposta: \tilde{X}(k)=\frac{1}{1-\alpha e^{-j\left(\frac{2 \pi k}{N}\right)}}

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência \displaystyle x(n)=\alpha^{n}u(n)
com |\alpha|<1, e pede dois objetivos:
  1. A transformada de Fourier (DTFT) X(e^{j\omega}) de x(n).
  2. Os coeficientes da série de Fourier discreta (DTFS) da sequência periódica \displaystyle \tilde{x}(n)=\sum_{r=-\infty}^{\infty}x(n+rN).
    Para isso vamos usar a soma de uma série geométrica para a DTFT e a relação entre DTFT e DTFS para o caso periódico.

Passo 2

Pela definição da DTFT temos
X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)e^{-j\omega n}
mas x(n)=0 para n<0, então a soma vai de n=0 a \infty:
X(e^{j\omega}) =\sum_{n=0}^{\infty}\alpha^{n}e^{-j\omega n} =\sum_{n=0}^{\infty}\bigl(\alpha e^{-j\omega}\bigr)^{n}.
Como |\alpha e^{-j\omega}|=|\alpha|<1, a série geométrica converge e vale
X(e^{j\omega}) =\frac{1}{1-\alpha e^{-j\omega}}.

Passo 3

Para a sequência periódica \tilde{x}(n) de período N, os coeficientes da DTFS são
\tilde{X}(k) =\sum_{n=0}^{N-1}\tilde{x}(n)\,e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}.
Substituindo \tilde{x}(n)=\sum_{r=-\infty}^{\infty}x(n+rN) e trocando a ordem de soma, reconhece-se exatamente a definição de X(e^{j\omega}) avaliada em \omega=\tfrac{2\pi k}{N}. Logo
\tilde{X}(k) =X\bigl(e^{j\frac{2\pi k}{N}}\bigr) =\frac{1}{1-\alpha\,e^{-j\frac{2\pi k}{N}}}.

Resposta

a. \displaystyle X\bigl(e^{j\omega}\bigr)=\frac{1}{1-\alpha\,e^{-j\omega}},\;|\alpha|<1.
b. \displaystyle \tilde{X}(k)=\frac{1}{1-\alpha\,e^{-j\frac{2\pi k}{N}}}.

Exercícios relacionados