Considere a sequência
dada por
. Suponha que
. Uma sequência periódica
é construída da seguinte forma:
a. Determine a transformada de Fourier de
. Resposta:
,
b. Determine os coeficientes da SFD de
. Resposta:
b. Determine os coeficientes da SFD de
Passo 1
O enunciado nos dá a sequência
com , e pede dois objetivos:
com
- A transformada de Fourier (DTFT)
de . - Os coeficientes da série de Fourier discreta (DTFS) da sequência periódica
.
Para isso vamos usar a soma de uma série geométrica para a DTFT e a relação entre DTFT e DTFS para o caso periódico.
Passo 2
Pela definição da DTFT temos
mas
para
, então a soma vai de
a
:
Como
, a série geométrica converge e vale
Passo 3
Para a sequência periódica
de período
, os coeficientes da DTFS são
Substituindo
e trocando a ordem de soma, reconhece-se exatamente a definição de
avaliada em
. Logo
Resposta
a.
b.
b.