Suponha que x_{c}(t) seja um sinal de tempo contínuo periódico com período de 1 ms . A série de Fourier desse sinal é dada por (coeficientes a_{k}=0 para |k|>9 ).
x_{c}(t)=\sum_{k=-9}^{9} a_{k} e^{j(2000 \pi k t)}
O sinal x_{c}(t) é amostrado com um período T=\frac{1}{6} \times 10^{-3}, gerando a sequência x(n)
x(n)=x_{c}\left(\frac{n}{6000}\right)
Suponha uma sequência \tilde{x}(n) periódica com período N. Note que essa mesma sequência pode ser interpretada como uma sequência periódica de período 3 N. Seja \tilde{X}(k) a representação por coeficientes da SFD de \tilde{x}(n) considerada uma sequência periódica com período N e \tilde{X}_{3}(k) a representação por coeficientes da SFD de \tilde{x}(n) considerada uma sequência periódica com período 3 N. Expresse \tilde{X}_{3}(k) em termos de \tilde{X}(k). Resposta: \tilde{X}_{3}(k)=\left\{\begin{array}{cc}3 \tilde{X}(k / 3) & k=3 l \\\ 0 & \text { caso contrário }\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado considera uma sequência \tilde{x}(n) periódica de período N e pergunta qual é a Série de Fourier Discreta (SFD) dessa mesma sequência quando interpretada como periódica de período 3N. Vamos chamar de \tilde{X}(k) os coeficientes da SFD com período N e de \tilde{X}_{3}(k) os coeficientes com período 3N.