Suponha que x_{c}(t) seja um sinal de tempo contínuo periódico com período de 1 ms . A série de Fourier desse sinal é dada por (coeficientes a_{k}=0 para |k|>9 ).
x_{c}(t)=\sum_{k=-9}^{9} a_{k} e^{j(2000 \pi k t)}
O sinal x_{c}(t) é amostrado com um período T=\frac{1}{6} \times 10^{-3}, gerando a sequência x(n)
x(n)=x_{c}\left(\frac{n}{6000}\right)
Suponha uma sequência \tilde{x}(n) periódica com período N. Note que essa mesma sequência pode ser interpretada como uma sequência periódica de período 3 N. Seja \tilde{X}(k) a representação por coeficientes da SFD de \tilde{x}(n) considerada uma sequência periódica com período N e \tilde{X}_{3}(k) a representação por coeficientes da SFD de \tilde{x}(n) considerada uma sequência periódica com período 3 N. Expresse \tilde{X}_{3}(k) em termos de \tilde{X}(k). Resposta: \tilde{X}_{3}(k)=\left\{\begin{array}{cc}3 \tilde{X}(k / 3) & k=3 l \\\ 0 & \text { caso contrário }\end{array}\right.á

Passo 1

O enunciado considera uma sequência \tilde{x}(n) periódica de período N e pergunta qual é a Série de Fourier Discreta (SFD) dessa mesma sequência quando interpretada como periódica de período 3N. Vamos chamar de \tilde{X}(k) os coeficientes da SFD com período N e de \tilde{X}_{3}(k) os coeficientes com período 3N.

Passo 2

Pela definição da SFD de período 3N temos
\tilde{X}_{3}(k) =\sum_{n=0}^{3N-1}\tilde{x}(n)\,e^{-j\frac{2\pi}{3N}kn}.
Como \tilde{x}(n) é periódica de período N, podemos dividir a soma em três blocos de comprimento N e usar \tilde{x}(n+mN)=\tilde{x}(n):
\tilde{X}_{3}(k) =\sum_{m=0}^{2}\sum_{n=0}^{N-1}\tilde{x}(n)\, e^{-j\frac{2\pi}{3N}k(n+mN)}.

Passo 3

Separe o fator que depende de m:
\tilde{X}_{3}(k) =\sum_{n=0}^{N-1}\tilde{x}(n)\,e^{-j\frac{2\pi}{3N}kn} \;\sum_{m=0}^{2}e^{-j\frac{2\pi}{3N}k\,mN} =\sum_{n=0}^{N-1}\tilde{x}(n)\,e^{-j\frac{2\pi}{3N}kn} \;\sum_{m=0}^{2}e^{-j\frac{2\pi}{3}k\,m}.
O segundo somatório é uma soma geométrica de três termos de razão e^{-j\frac{2\pi}{3}k}, que vale
\sum_{m=0}^{2}e^{-j\frac{2\pi}{3}k\,m} =\begin{cases} 3,&k\equiv 0\pmod{3},\\\\ 0,&\text{caso contrário}. \end{cases}á

Passo 4

Quando k=3\ell, o fator \exp\bigl(-j\frac{2\pi}{3N}k n\bigr) torna-se \exp\bigl(-j\frac{2\pi}{N}\ell n\bigr), e então
\sum_{n=0}^{N-1}\tilde{x}(n)\,e^{-j\frac{2\pi}{N}\ell n} =\tilde{X}(\ell).
Portanto
\tilde{X}_{3}(3\ell)=3\,\tilde{X}(\ell), \quad \tilde{X}_{3}(k)=0\;\text{se }k\not\equiv0\pmod{3}.

Resposta

\tilde{X}_{3}(k) =\begin{cases} 3\,\tilde{X}\bigl(k/3\bigr),&k=3\ell,\\\\ 0,&\text{caso contrário}. \end{cases}á

Exercícios relacionados