Suponha que x_{c}(t) seja um sinal de tempo contínuo periódico com período de 1 ms . A série de Fourier desse sinal é dada por (coeficientes a_{k}=0 para |k|>9 ).
x_{c}(t)=\sum_{k=-9}^{9} a_{k} e^{j(2000 \pi k t)}
O sinal x_{c}(t) é amostrado com um período T=\frac{1}{6} \times 10^{-3}, gerando a sequência x(n)
x(n)=x_{c}\left(\frac{n}{6000}\right)
a. x_{c}(n) é periódica? Se sim, qual o período? Resposta: sim, periódica com período \\mathrm{N}=6.
b. A taxa de amostragem está acima da taxa de Nyquist? Não, e portanto haverá distorção por aliasing.
c. Forneça os coeficientes da SFD de x(n) em termos de a_{k}. Resposta: \widetilde{X}(k)= 6 \sum_{r=-\infty}^{\infty} a_{k-6 r}

Passo 1

O enunciado diz que temos um sinal contínuo periódico x_{c}(t) de período T_{c}=1\text{ ms} cuja série de Fourier é
x_{c}(t)=\sum_{k=-9}^{9}a_{k}\,e^{j\,(2000\pi k)t},
e que estamos amostrando esse sinal com período
T=\frac{1}{6}\times10^{-3}\text{ s}=\frac{1}{6000}\text{ s},
obtendo a sequência
x[n]=x_{c}\Bigl(\frac{n}{6000}\Bigr).
Vamos (1) checar se x[n] é periódica e seu período; (2) comparar a taxa de amostragem com a de Nyquist; (3) expressar os coeficientes da série de Fourier discreta (SFD) de x[n] em função de a_{k}.

Passo 2

Para ver se x[n] é periódica, procuramos o menor inteiro positivo N tal que
x[n+N]=x[n]\quad\forall n.
Isso significa
x_{c}\Bigl(\tfrac{n+N}{6000}\Bigr) = x_{c}\Bigl(\tfrac{n}{6000}\Bigr).
Como x_{c}(t) tem período T_{c}=1\text{ ms}=10^{-3} s, basta ter
\frac{n+N}{6000}-\frac{n}{6000} = \frac{N}{6000} = 10^{-3}.
Logo
N=\;6000\cdot10^{-3}=6.
Portanto x[n] é periódica com período N=6.

Passo 3

A taxa de amostragem é
f_{s}=\frac{1}{T}=6000\text{ Hz}.
Os harmônicos de x_{c}(t) vão até
\omega_{9}=2000\pi\cdot9\quad\Longrightarrow\quad f_{\max}=\frac{\omega_{9}}{2\pi}=1000\cdot9=9000\text{ Hz}.
A taxa de Nyquist seria
2\,f_{\max}=18000\text{ Hz}.
Como f_{s}=6000<18000, a amostragem está abaixo da taxa de Nyquist e ocorrerá aliasing.

Passo 4

Sabemos que
x[n] = \sum_{k=-9}^{9}a_{k}\, e^{j\,(2000\pi k)\,(n/6000)} \;=\; \sum_{k=-9}^{9}a_{k}\, e^{j\,(2\pi k\,n/6)}.
Como x[n] é periódica de período N=6, ela admite expansão em SFD
x[n] = \sum_{m=0}^{5}\widetilde{X}(m)\,e^{j\,(2\pi m\,n/6)}.
Comparando as duas somas, vemos que os mesmos expoentes e^{j2\pi(\cdot)\,n/6} reaparecem sempre com índices congruentes módulo 6. Isso leva à relação de empacotamento de coeficientes
\widetilde{X}(m) = 6\sum_{r=-\infty}^{\infty}a_{\,m-6r}.

Resposta

a) sim, x[n] é periódica com N=6.
b) não, f_{s}=6000\text{ Hz}<2f_{\max}, haverá aliasing.
c) \displaystyle \widetilde{X}(k)=6\sum_{r=-\infty}^{\infty}a_{\,k-6r}.

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