Considere a sequencia (xn) n in N^* definida pela seguinte fórmula de recorrência
x1=1
xn+1=5 cdot xn+2 Determine uma fórmula para otermo geral xn. Qual o valor de x10 ?

Passo 1

O enunciado define a sequência xnninN^* por
x1 = 1, xn+1 = 5,xn + 2
O conteúdo é resolução de recorrência linear de primeira ordem não homogênea. Queremos achar uma expressão fechada para xn e, em seguida, calcular x10.

Passo 2

Procuramos primeiro um ponto fixo (solução constante) da recorrência, isto é, um valor c tal que
c = 5c + 2
Resolvendo,
c - 5c = 2 Longrightarrow -4c = 2 Longrightarrow c = -tfrac12

Passo 3

Definimos a nova sequência yn = xn + tfrac12. Então
yn+1 = xn+1 + tfrac12 = l(5xn + 2r) + tfrac12 = 5,xn + tfrac52 = 5l(xn + tfrac12r) = 5,yn
Logo yn é uma progressão geométrica de razão 5.

Passo 4

Como y1 = x1 + tfrac12 = 1 + tfrac12 = tfrac32, temos
yn = y1cdot5^,n-1 = tfrac32;5^,n-1
Voltando a xn:
xn = yn - tfrac12 = tfrac32;5^,n-1 ;-;tfrac12

Passo 5

Portanto, a fórmula do termo geral é
boxedxn = 3cdot5^,n-1-12
Para n=10:
x10 = 3cdot5^9-12
Como 5^9 = 1,953,125, segue
3cdot5^9 = 5,859,375, 3cdot5^9 -1 = 5,859,374, x10 = 5,859,3742 = 2,929,687

Resposta

A fórmula geral é
xn = 3cdot5^,n-1-12,
e
x10 = 2,929,687

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