Resolva as equações diferenciais indicadas
y^prime-2x y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y' - 2x,y = 0
Este é uma EDO linear de primeira ordem, homogênea. Vamos usar o método do fator integrante para convertê-la numa derivada exata e então integrar.

Passo 2

Escrevemos a equação na forma padrão
y' + P(x),y = 0,
onde
P(x) = -2x,
e Q(x)=0. O fator integrante é
mu(x) = expl(integral P(x),dxr) = expl(integral -2x,dxr) = expl(-2ln|x|r) = x^-2

Passo 3

Multiplicando a equação original por mu(x)=x^-2 temos
x^-2y' - 2x^-3y = 0
O lado esquerdo é a derivada do produto x^-2y, pois
ddxl(x^-2yr) = x^-2y' + (-2)x^-3y

Passo 4

Logo,
ddxl(x^-2yr) = 0 Longrightarrow x^-2y = C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Isolando y,
y = C,x^2

Resposta

A família geral de soluções é
y = C,x^2,
com C constante real.

Exercícios relacionados