Encontre a transformada Laplace da seguinte função.
cosh x

Passo 1

A questão pede a transformada de Laplace de cosh t. O conteúdo envolvido é Transformada de Laplace e precisaremos da definição da transformada e da expressão de cosh t em termos de exponenciais.

Passo 2

A definição da transformada de Laplace de uma função f(t) é
Lf(t)(s)=integral0^inftye^-stf(t),dt
Aplicando isso a f(t)=cosh t temos
Lcosh t(s)=integral0^inftye^-stcosh t,dt

Passo 3

Para facilitar o cálculo, usamos a identidade
cosh t=e^t+e^-t2
Então
integral0^inftye^-stcosh t,dt=12integral0^inftye^-st(e^t+e^-t),dt =12l(integral0^inftye^-(s-1)t,dt+integral0^inftye^-(s+1)t,dtr)

Passo 4

Cada integral é do tipo integral0^inftye^-at,dt=1/a para Re(a)>0. Aqui precisamos de Re(s-1)>0, isto é, Re(s)>1. Logo,
integral0^inftye^-(s-1)t,dt=1s-1, integral0^inftye^-(s+1)t,dt=1s+1

Passo 5

Agora combinamos os resultados:
Lcosh t(s)=12l(1s-1+1s+1r) =ss^2-1,
com região de convergência Re(s)>1.

Resposta

Lcosh t(s)=dfracss^2-1, Re(s)>1

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