Considere as sequências definidas recursivamente abaixo. Em cada caso, mostre que a sequência é crescente e limitada superiormente, e conclua que ela é convergente. Em seguida, determine o seu limite.
Seja a_{1}=1 e a_{n+1}=\sqrt{1+2 a_{n}}\, para \(n=1,2,3, \ldots. (Dica: mostre que a_{n}<3 para todo n.))

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados:
    • a_{1}=1.
    • A sequência é definida recursivamente por a_{n+1}=\sqrt{1+2a_{n}} para n=1,2,3,\ldots.
  • Perguntas:
    1. Mostrar que a sequência (a_n) é crescente.
    2. Mostrar que a sequência é limitada superiormente.
    3. Concluir que a sequência é convergente.
    4. Determinar o limite \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n.

Passo 2

Primeiro vou mostrar que todos os termos são menores que 3 (a dica do enunciado). Isso nos dá uma estimativa simples que será útil para limitar a sequência.
Base da indução: a_{1}=1<3.
Passo indutivo: suponha que a_{n}<3 para algum n\ge1. Então
a_{n+1}=\sqrt{1+2a_{n}}<\sqrt{1+2\cdot 3}=\sqrt{7}.
Como \sqrt{7}<3, segue que a_{n+1}<3. Assim, por indução, a_{n}<3 para todo n.
Observação empática: isso é simples e elegante — a dica serviu para dar um teto numérico fácil de trabalhar.

Passo 3

Agora mostro que a sequência é crescente. Vou usar o fato de que, para números reais, se x>y então 1+2x>1+2y e, como a função raiz quadrada é crescente em [0,\infty), temos \sqrt{1+2x}>\sqrt{1+2y}.
Verificação do começo: a_{2}=\sqrt{1+2a_{1}}=\sqrt{3}>1=a_{1}. Então a desigualdade inicial a_{2}\ge a_{1} está OK (na verdade é estrita).
Indução para monotonicidade: suponha que a_{n}\ge a_{n-1} para algum n\ge2. Aplicando a função f(x)=\sqrt{1+2x}, que é crescente, obtemos
a_{n+1}=f(a_n)\ge f(a_{n-1})=a_n.
Portanto, por indução, a_{n+1}\ge a_n para todo n, ou seja, (a_n) é crescente.
Comentário didático: não precisei usar derivada nem nada pesado — apenas o fato elementar de que a raiz quadrada preserva a ordem quando os argumentos são não negativos.

Passo 4

Juntando os resultados: já provamos que (a_n) é crescente (Passo 3) e que é limitada superiormente por 3 (Passo 2), ou seja, existe M=3 tal que a_n<M para todo n.
Agora uso um teorema clássico (explicado de forma simples): qualquer sequência monotônica crescente e limitada superiormente converge. Intuição: termos crescem, mas não passam de um teto, então ficam cada vez mais próximos de algum valor limite.
Portanto (a_n) é convergente.

Passo 5

Determinar o limite. Como (a_n) converge, seja
L=\lim_{n\to\infty} a_n.
Tomando limite na recorrência a_{n+1}=\sqrt{1+2a_{n}} e usando continuidade da raiz quadrada, obtemos
L=\sqrt{1+2L}.
Agora resolvemos esta equação para L. Como L é limite de termos positivos (veja a_1=1 e a recorrência preserva positividade), temos L\ge 0. Elevando ao quadrado (válido porque ambos os lados são não negativos),
L^2 = 1 + 2L.
Rearranjando,
L^2 - 2L - 1 = 0.
Esta é uma equação quadrática cujo discriminante é \Delta = (-2)^2 - 4\cdot 1\cdot (-1) = 4+4 = 8. Assim as raízes são
L = \frac{2\pm\sqrt{8}}{2} = 1\pm\sqrt{2}.
Como 1-\sqrt{2}<0 e sabemos que L\ge0, a única raiz admissível é
L = 1+\sqrt{2}.

Passo 6

Verificação rápida de consistência: 1+\sqrt{2}\approx 2{,}414, que é menor que 3 e maior que a_1=1, compatível com o fato de a sequência ser crescente e limitada por 3. Portanto tudo está coerente.

Resposta

A sequência (a_n) é crescente; é limitada superiormente (por 3); portanto é convergente; \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = 1+\sqrt{2}.

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