Considere as sequências definidas recursivamente abaixo. Em cada caso, mostre que a sequência é crescente e limitada superiormente, e conclua que ela é convergente. Em seguida, determine o seu limite.
Seja
e
. (Dica: mostre que
para todo
.))
Seja
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
-
Dados:
-
. - A sequência é definida recursivamente por
para .
-
-
Perguntas:
- Mostrar que a sequência
é crescente. - Mostrar que a sequência é limitada superiormente.
- Concluir que a sequência é convergente.
- Determinar o limite
.
- Mostrar que a sequência
Passo 2
Primeiro vou mostrar que todos os termos são menores que
(a dica do enunciado). Isso nos dá uma estimativa simples que será útil para limitar a sequência.
Base da indução:
.
Passo indutivo: suponha que
para algum
. Então
Como
, segue que
. Assim, por indução,
para todo
.
Observação empática: isso é simples e elegante — a dica serviu para dar um teto numérico fácil de trabalhar.
Passo 3
Agora mostro que a sequência é crescente. Vou usar o fato de que, para números reais, se
então
e, como a função raiz quadrada é crescente em
, temos
.
Verificação do começo:
. Então a desigualdade inicial
está OK (na verdade é estrita).
Indução para monotonicidade: suponha que
para algum
. Aplicando a função
, que é crescente, obtemos
Portanto, por indução,
para todo
, ou seja,
é crescente.
Comentário didático: não precisei usar derivada nem nada pesado — apenas o fato elementar de que a raiz quadrada preserva a ordem quando os argumentos são não negativos.
Passo 4
Juntando os resultados: já provamos que
é crescente (Passo 3) e que é limitada superiormente por
(Passo 2), ou seja, existe
tal que
para todo
.
Agora uso um teorema clássico (explicado de forma simples): qualquer sequência monotônica crescente e limitada superiormente converge. Intuição: termos crescem, mas não passam de um teto, então ficam cada vez mais próximos de algum valor limite.
Portanto
é convergente.
Passo 5
Determinar o limite. Como
converge, seja
Tomando limite na recorrência
e usando continuidade da raiz quadrada, obtemos
Agora resolvemos esta equação para
. Como
é limite de termos positivos (veja
e a recorrência preserva positividade), temos
. Elevando ao quadrado (válido porque ambos os lados são não negativos),
Rearranjando,
Esta é uma equação quadrática cujo discriminante é
. Assim as raízes são
Como
e sabemos que
, a única raiz admissível é
Passo 6
Verificação rápida de consistência:
, que é menor que
e maior que
, compatível com o fato de a sequência ser crescente e limitada por
. Portanto tudo está coerente.
Resposta
A sequência
é crescente; é limitada superiormente (por
); portanto é convergente;
.