Encontre \nabla z ou \nabla w.
z=\frac{6 x e^{3 y}}{x+8 y}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado:
  • Pede-se o gradiente de z, ou seja \nabla z.
  • A função é z=\frac{6 x e^{3 y}}{x+8 y}.
  • Informação importante: a função é de duas variáveis x e y, então \nabla z terá duas componentes: \displaystyle \nabla z=\left(\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}\right).

Passo 2

Plano de ação (ferramentas que vou usar):
  • Vou usar a regra do quociente para derivadas parciais: se \displaystyle z=\frac{u}{v} com u=u(x,y) e v=v(x,y), então
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{u_x v - u v_x}{v^2}, \qquad \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{u_y v - u v_y}{v^2}.
  • Também vou usar regra do produto e regra da cadeia quando necessário (por exemplo para derivar e^{3y}).
  • Para organizar, definimos
u(x,y)=6x e^{3y},\qquad v(x,y)=x+8y.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de u e v (essas são peças da regra do quociente):
  • Derivada parcial de u em relação a x: aqui u=6x\cdot e^{3y} é produto entre 6x e e^{3y}. Como e^{3y} não depende de x, trata-se de multiplicar por uma constante:
u_x=\frac{\partial}{\partial x}(6x e^{3y})=6 e^{3y}.
  • Derivada parcial de u em relação a y: aplicar produto + cadeia. \frac{d}{dy}e^{3y}=3e^{3y}. Assim
u_y=\frac{\partial}{\partial y}(6x e^{3y})=6x\cdot 3 e^{3y}=18 x e^{3y}.
  • Derivadas de v: v(x,y)=x+8y é linear, então
v_x=\frac{\partial}{\partial x}(x+8y)=1,\qquad v_y=\frac{\partial}{\partial y}(x+8y)=8.

Passo 4

Calcular \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} usando a regra do quociente:
\frac{\partial z}{\partial x} =\frac{u_x v - u v_x}{v^2} =\frac{(6 e^{3y})(x+8y) - (6x e^{3y})(1)}{(x+8y)^2}.
Agora simplifico o numerador fatorando 6 e^{3y}:
(6 e^{3y})\big[(x+8y)-x\big]=(6 e^{3y})(8y)=48 y e^{3y}.
Portanto
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{48 y e^{3y}}{(x+8y)^2}.

Passo 5

Calcular \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} pela regra do quociente:
\frac{\partial z}{\partial y} =\frac{u_y v - u v_y}{v^2} =\frac{(18 x e^{3y})(x+8y) - (6 x e^{3y})(8)}{(x+8y)^2}.
Fatoro 6 x e^{3y} no numerador (para simplificar):
6 x e^{3y}\big[3(x+8y)-8\big]=6 x e^{3y}\big(3x+24y-8\big).
Logo
\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{6 x e^{3y}\,(3x+24y-8)}{(x+8y)^2}.

Passo 6

Junto as duas componentes para escrever o gradiente \nabla z. Já tenho as expressões simplificadas para \partial z/\partial x e \partial z/\partial y.

Resposta

\nabla z=\left(\frac{48 y e^{3y}}{(x+8y)^2},\; \frac{6 x e^{3y}(3x+24y-8)}{(x+8y)^2}\right)

Exercícios relacionados