Encontre
ou
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos foi dado:
- Pede-se o gradiente de
, ou seja . - A função é
- Informação importante: a função é de duas variáveis
e , então terá duas componentes:
Passo 2
Plano de ação (ferramentas que vou usar):
- Vou usar a regra do quociente para derivadas parciais: se
com e , então
- Também vou usar regra do produto e regra da cadeia quando necessário (por exemplo para derivar
). - Para organizar, definimos
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
e
(essas são peças da regra do quociente):
- Derivada parcial de
em relação a : aqui é produto entre e . Como não depende de , trata-se de multiplicar por uma constante:
- Derivada parcial de
em relação a : aplicar produto + cadeia. . Assim
- Derivadas de
: é linear, então
Passo 4
Calcular
usando a regra do quociente:
Agora simplifico o numerador fatorando
:
Portanto
Passo 5
Calcular
pela regra do quociente:
Fatoro
no numerador (para simplificar):
Logo
Passo 6
Junto as duas componentes para escrever o gradiente
. Já tenho as expressões simplificadas para
e
.