(1,0) Fazer um mapa de contorno da função com 5 curvas de nível
f(x, y)=y-\sqrt{x}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos de dados:
  • O enunciado pede: “Fazer um mapa de contorno da função com 5 curvas de nível”. Ou seja, é preciso desenhar (ou descrever) cinco curvas de nível (níveis) da função dada.
  • A função dada é f(x,y)=y-\sqrt{x}.
  • Informação importante sobre domínio: a função usa \sqrt{x}, logo faz sentido apenas para x\ge 0.
  • O que cada curva de nível é: para um valor fixo k (constante), a curva de nível é o conjunto de pontos (x,y) tais que f(x,y)=k,
ou seja y-\sqrt{x}=k.
Isso é tudo que preciso listar aqui; a resolução começa agora.

Passo 2

Transformar a condição da curva de nível em uma forma fácil de trabalhar e entender o formato geométrico das curvas.
  • Partindo de y-\sqrt{x}=k,
isolamos y e obtemos a equação explícita da curva de nível:
y=\sqrt{x}+k.
  • Observações imediatas sobre essa equação:
    • O domínio impõe x\ge 0.
    • Como \sqrt{x}\ge 0, para cada nível k os pontos da curva satisfazem y\ge k.
    • Se quisermos expressar x em função de y, escrevemos (ao quadrar) x=(y-k)^2,
mas atenção: a equação original corresponde apenas à parte com y-k=\sqrt{x}\ge 0, ou seja, apenas aos pontos com y\ge k. Geometricamente isso significa que a curva é a “metade” direita da parábola \,x=(y-k)^2, com vértice em (0,k) e abertura para a direita, porém apenas o ramo com y\ge k está presente.
  • Derivada (para orientar o traçado): diferenciando y=\sqrt{x}+k obtemos \frac{dy}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\quad(x>0).
Isso mostra que em x\to 0^+ a inclinação tende para +\infty (tangente vertical no vértice (0,k)), e para x grande a inclinação tende a 0 (a curva vai “flattening” para a direita). Bom para desenhar: começa vertical no vértice e vai amansando.

Passo 3

Escolher 5 valores de nível práticos e justificar a escolha.
  • Em provas e mapas de contorno costuma-se escolher níveis simples e espaçados de forma confortável (inteiros ou frações simples) para facilitar o desenho e a leitura. Vou escolher os cinco níveis
k=-2,\,-1,\,0,\,1,\,2.
  • Motivo: são simétricos em torno de zero, fáceis de calcular e mostram bem o deslocamento vertical das curvas conforme k varia.

Passo 4

Escrever explicitamente as equações das cinco curvas de nível e extrair pontos práticos para desenhar (três pontos por curva bastam para esboçar bem).
Para cada k a curva é y=\sqrt{x}+k,\qquad x\ge 0.
Vou fornecer três pontos simples que pertencem a cada curva, escolhendo valores de \sqrt{x} iguais a 0,\,1,\,2 (ou seja x=0,\,1,\,4). Esses pontos ajudam a traçar a forma (vértice mais dois pontos para a direita).
  • Para k=-2:
    • x=0\Rightarrow y=0-2=-2 \Rightarrow ponto (0,-2).
    • x=1\Rightarrow y=1-2=-1 \Rightarrow ponto (1,-1).
    • x=4\Rightarrow y=2-2=0 \Rightarrow ponto (4,0).
  • Para k=-1:
    • x=0\Rightarrow y=-1 \Rightarrow (0,-1).
    • x=1\Rightarrow y=0 \Rightarrow (1,0).
    • x=4\Rightarrow y=1 \Rightarrow (4,1).
  • Para k=0:
    • x=0\Rightarrow y=0 \Rightarrow (0,0).
    • x=1\Rightarrow y=1 \Rightarrow (1,1).
    • x=4\Rightarrow y=2 \Rightarrow (4,2).
  • Para k=1:
    • x=0\Rightarrow y=1 \Rightarrow (0,1).
    • x=1\Rightarrow y=2 \Rightarrow (1,2).
    • x=4\Rightarrow y=3 \Rightarrow (4,3).
  • Para k=2:
    • x=0\Rightarrow y=2 \Rightarrow (0,2).
    • x=1\Rightarrow y=3 \Rightarrow (1,3).
    • x=4\Rightarrow y=4 \Rightarrow (4,4).
Esses pontos mostram claramente que cada curva tem vértice em (0,k) e passa pelos pontos indicados. Note que para todos os casos os pontos têm x\ge 0, conforme o domínio.

Passo 5

Como traçar o mapa de contorno na prática (passo a passo, o “manual” para desenhar na folha na prova) e dicas rápidas:
  1. Desenhe os eixos x e y. Marque x\ge 0 com alguns valores (por exemplo 0,1,4) e marque no eixo y os valores -2,-1,0,1,2.
  2. Plote os vértices das cinco curvas: (0,-2),(0,-1),(0,0),(0,1),(0,2).
  3. Para cada vértice, desenhe a curva que sai verticalmente para cima (tangente quase vertical no vértice) e vai curvando para a direita passando pelos pontos (1,k+1) e (4,k+2) correspondentes. Use os pontos já calculados para guiar o traçado.
  4. Rotule cada curva com o seu valor de nível k (por exemplo escrever próximo à curva: k=-2, k=-1, etc.). Isso é muito importante em mapas de contorno para não confundir.
  5. Observações visuais úteis para conferir o esboço:
    • Curvas com k maiores ficam verticalmente deslocadas para cima.
    • Em qualquer vertical x= fixo, a distância vertical entre duas curvas com níveis diferentes k_1 e k_2 é exatamente |k_1-k_2|, porque em um x fixo temos y=\sqrt{x}+k.
    • Não existe parte da curva para x<0.
Se fosse preciso entregar um desenho digital: bastaria desenhar cinco ramos da parábola x=(y-k)^2 cortados na região y\ge k, cada um com vértice em (0,k).

Passo 6

Resumo final e fórmulas prontas para resposta rápida (para colar no caderno ou prova):
Para os cinco níveis escolhidos k=-2,-1,0,1,2, as curvas de nível são as seguintes equações (cada uma com domínio x\ge 0):
y=\sqrt{x}-2,
y=\sqrt{x}-1,
y=\sqrt{x},
y=\sqrt{x}+1,
y=\sqrt{x}+2.

Resposta

y=\sqrt{x}-2
y=\sqrt{x}-1
y=\sqrt{x}
y=\sqrt{x}+1
y=\sqrt{x}+2

Exercícios relacionados