(1,0) Fazer um mapa de contorno da função com 5 curvas de nível
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos de dados:
- O enunciado pede: “Fazer um mapa de contorno da função com 5 curvas de nível”. Ou seja, é preciso desenhar (ou descrever) cinco curvas de nível (níveis) da função dada.
- A função dada é
- Informação importante sobre domínio: a função usa
, logo faz sentido apenas para . - O que cada curva de nível é: para um valor fixo
(constante), a curva de nível é o conjunto de pontos tais que
ou seja
Isso é tudo que preciso listar aqui; a resolução começa agora.
Passo 2
Transformar a condição da curva de nível em uma forma fácil de trabalhar e entender o formato geométrico das curvas.
- Partindo de
isolamos
e obtemos a equação explícita da curva de nível:
- Observações imediatas sobre essa equação:
- O domínio impõe
. - Como
, para cada nível os pontos da curva satisfazem . - Se quisermos expressar
em função de , escrevemos (ao quadrar)
- O domínio impõe
mas atenção: a equação original corresponde apenas à parte com
, ou seja, apenas aos pontos com
. Geometricamente isso significa que a curva é a “metade” direita da parábola
, com vértice em
e abertura para a direita, porém apenas o ramo com
está presente.
- Derivada (para orientar o traçado): diferenciando
obtemos
Isso mostra que em
a inclinação tende para
(tangente vertical no vértice
), e para
grande a inclinação tende a
(a curva vai “flattening” para a direita). Bom para desenhar: começa vertical no vértice e vai amansando.
Passo 3
Escolher 5 valores de nível práticos e justificar a escolha.
- Em provas e mapas de contorno costuma-se escolher níveis simples e espaçados de forma confortável (inteiros ou frações simples) para facilitar o desenho e a leitura. Vou escolher os cinco níveis
- Motivo: são simétricos em torno de zero, fáceis de calcular e mostram bem o deslocamento vertical das curvas conforme
varia.
Passo 4
Escrever explicitamente as equações das cinco curvas de nível e extrair pontos práticos para desenhar (três pontos por curva bastam para esboçar bem).
Para cada
a curva é
Vou fornecer três pontos simples que pertencem a cada curva, escolhendo valores de
iguais a
(ou seja
). Esses pontos ajudam a traçar a forma (vértice mais dois pontos para a direita).
-
Para
: -
ponto . -
ponto . -
ponto .
-
-
Para
: -
. -
. -
.
-
-
Para
: -
. -
. -
.
-
-
Para
: -
. -
. -
.
-
-
Para
: -
. -
. -
.
-
Esses pontos mostram claramente que cada curva tem vértice em
e passa pelos pontos indicados. Note que para todos os casos os pontos têm
, conforme o domínio.
Passo 5
Como traçar o mapa de contorno na prática (passo a passo, o “manual” para desenhar na folha na prova) e dicas rápidas:
- Desenhe os eixos
e . Marque com alguns valores (por exemplo ) e marque no eixo os valores . - Plote os vértices das cinco curvas:
. - Para cada vértice, desenhe a curva que sai verticalmente para cima (tangente quase vertical no vértice) e vai curvando para a direita passando pelos pontos
e correspondentes. Use os pontos já calculados para guiar o traçado. - Rotule cada curva com o seu valor de nível
(por exemplo escrever próximo à curva: , , etc.). Isso é muito importante em mapas de contorno para não confundir. - Observações visuais úteis para conferir o esboço:
- Curvas com
maiores ficam verticalmente deslocadas para cima. - Em qualquer vertical
fixo, a distância vertical entre duas curvas com níveis diferentes e é exatamente , porque em um fixo temos . - Não existe parte da curva para
.
- Curvas com
Se fosse preciso entregar um desenho digital: bastaria desenhar cinco ramos da parábola
cortados na região
, cada um com vértice em
.
Passo 6
Resumo final e fórmulas prontas para resposta rápida (para colar no caderno ou prova):
Para os cinco níveis escolhidos
, as curvas de nível são as seguintes equações (cada uma com domínio
):