Calcule o limite das seguintes sequências, utilizando o resultado da questão anterior sempre que possível.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite da sequência
quando
. Informações dadas:
- A sequência é
. - Implicitamente
é um inteiro positivo e .
A tarefa única é determinar.
Passo 2
Entender o comportamento da função
para
. Conceitos importantes (explicados de forma direta):
- A função
é a inversa da função tangente restrita ao intervalo . Portanto, para vale . - Além disso,
é crescente e limitada superiormente por : isto é, para todo temos
Aplicando isso a
(com
), obtemos
Breve justificativa intuitiva: à medida que
cresce,
aproxima-se de
sem nunca atingi‑lo; por isso fica sempre entre
e
.
Passo 3
Transformar a desigualdade anterior na forma adequada para comparar com
. Como
para
, podemos dividir a desigualdade por
sem inverter sinais:
Em outras palavras,
Passo 4
Aplicar o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem). Explicando o teorema em poucas palavras: se uma sequência
fica sempre entre duas sequências
e
e
, então
. Aqui:
- A sequência inferior é
(constante), cujo limite é . - A sequência superior é
, cujo limite quando é porque e uma constante dividida por algo que vai ao infinito tende a .
Portanto as duas sequências que encimam e acompanhamtêm limite , logo pela lei do aperto temos
Passo 5
Mostro um argumento alternativo, útil para provas rápidas na prova: escrever
- Como
é limitada ( ), tem-se porque um número limitado dividido por tende a . - E
quando .
Pela regra do produto de limites, o produto tende a, obtendo o mesmo resultado.