Calcule o limite das seguintes sequências, utilizando o resultado da questão anterior sempre que possível.
a_{n}=\frac{\arctan (n)}{1+n}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite da sequência a_{n}=\dfrac{\arctan(n)}{1+n} quando n\to\infty. Informações dadas:
  • A sequência é \displaystyle a_{n}=\frac{\arctan(n)}{1+n}.
  • Implicitamente n é um inteiro positivo e n\to\infty.
    A tarefa única é determinar \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n}.

Passo 2

Entender o comportamento da função \arctan(x) para x>0. Conceitos importantes (explicados de forma direta):
  • A função \arctan é a inversa da função tangente restrita ao intervalo \left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right). Portanto, para x>0 vale \arctan(x)>0.
  • Além disso, \arctan(x) é crescente e limitada superiormente por \tfrac{\pi}{2}: isto é, para todo x>0 temos
0<\arctan(x)<\frac{\pi}{2}.
Aplicando isso a x=n (com n\ge 1), obtemos
0<\arctan(n)<\frac{\pi}{2}.
Breve justificativa intuitiva: à medida que x cresce, \arctan(x) aproxima-se de \tfrac{\pi}{2} sem nunca atingi‑lo; por isso fica sempre entre 0 e \tfrac{\pi}{2}.

Passo 3

Transformar a desigualdade anterior na forma adequada para comparar com a_n. Como 1+n>0 para n\ge1, podemos dividir a desigualdade por 1+n sem inverter sinais:
0<\frac{\arctan(n)}{1+n}<\frac{\tfrac{\pi}{2}}{1+n}.
Em outras palavras,
0<a_n<\frac{\pi/2}{1+n}.

Passo 4

Aplicar o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem). Explicando o teorema em poucas palavras: se uma sequência (x_n) fica sempre entre duas sequências (y_n) e (z_n) e \lim y_n=\lim z_n=L, então \lim x_n=L. Aqui:
  • A sequência inferior é 0 (constante), cujo limite é 0.
  • A sequência superior é \dfrac{\pi/2}{1+n}, cujo limite quando n\to\infty é 0 porque 1+n\to\infty e uma constante dividida por algo que vai ao infinito tende a 0.
    Portanto as duas sequências que encimam e acompanham a_n têm limite 0, logo pela lei do aperto temos
\lim_{n\to\infty} a_n = 0.

Passo 5

Mostro um argumento alternativo, útil para provas rápidas na prova: escrever
a_n=\frac{\arctan(n)}{1+n}=\frac{\arctan(n)}{n}\cdot\frac{n}{1+n}.
  • Como \arctan(n) é limitada ( 0<\arctan(n)<\tfrac{\pi}{2}), tem-se \dfrac{\arctan(n)}{n}\to 0 porque um número limitado dividido por n\to\infty tende a 0.
  • E \dfrac{n}{1+n}\to 1 quando n\to\infty.
    Pela regra do produto de limites, o produto tende a 0\cdot 1=0, obtendo o mesmo resultado.

Resposta

0

Exercícios relacionados