3
Verifique que a sequência \left\{a_{n}\right\}, onde a_{n}=\frac{2 n}{n+4 \sqrt{n}}, para cada inteiro positivo n, converge para 2.

Passo 1

O enunciado dá a sequência \{a_n\} definida por
a_n=\frac{2n}{\,n+4\sqrt{n}\,}\qquad\text{para cada inteiro positivo }n,
e pede para verificar que \{a_n\} converge para 2.
Os dados relevantes são apenas a expressão de a_n acima e o objetivo: mostrar que \lim_{n\to\infty}a_n=2.

Passo 2

Primeira ideia intuitiva (manipulação algébrica que sugere o limite). Faço uma fatoração simples dividindo numerador e denominador por n ou por \sqrt{n}. Por exemplo, dividindo por \sqrt{n} no denominador:
a_n=\frac{2n}{n+4\sqrt{n}}=\frac{2}{\,1+\dfrac{4}{\sqrt{n}}\,}.
Aqui escrevo o que cada símbolo significa: n é o índice da sequência e \sqrt{n} cresce sem limite quando n\to\infty. Assim o termo \dfrac{4}{\sqrt{n}} tende a 0 quando n\to\infty, e pela regra de continuidade da função x\mapsto \dfrac{2}{1+x} isso sugere que
\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{2}{1+0}=2.
Isto é a intuição. Agora vou dar uma demonstração formal usando a definição de convergência.

Passo 3

Recordando a definição de convergência (em linguagem simples): dizer que \{a_n\} converge para 2 significa que para todo \varepsilon>0 existe um N\in\mathbb{N} tal que, sempre que n\ge N, vale
|a_n-2|<\varepsilon.
Aqui \varepsilon é um número positivo dado (o erro tolerado) e N deve ser escolhido em função de \varepsilon.

Passo 4

Calculo explícito da diferença |a_n-2| para poder controlar essa quantidade. Faço as contas passo a passo:
a_n-2=\frac{2n}{n+4\sqrt{n}}-2 =\frac{2n-2(n+4\sqrt{n})}{n+4\sqrt{n}} =\frac{-8\sqrt{n}}{n+4\sqrt{n}}.
Tomando o valor absoluto:
|a_n-2|=\frac{8\sqrt{n}}{\,n+4\sqrt{n}\,}.
Agora simplifico dividindo numerador e denominador por \sqrt{n}:
|a_n-2|=\frac{8}{\sqrt{n}+4}.

Passo 5

Estimativa útil e escolha de N. Note que para todo n\ge1 vale \sqrt{n}+4\ge\sqrt{n}, portanto
|a_n-2|=\frac{8}{\sqrt{n}+4}\le\frac{8}{\sqrt{n}}.
Queremos garantir |a_n-2|<\varepsilon. Basta então garantir \dfrac{8}{\sqrt{n}}<\varepsilon. Isso equivale a
\sqrt{n}>\frac{8}{\varepsilon}\quad\Longleftrightarrow\quad n>\left(\frac{8}{\varepsilon}\right)^{2}.
Logo, dada qualquer \varepsilon>0, pode-se escolher um N\in\mathbb{N} tal que
N>\left(\frac{8}{\varepsilon}\right)^{2}
por exemplo N=\left\lceil\left(\dfrac{8}{\varepsilon}\right)^{2}\right\rceil. Para esse N, sempre que n\ge N temos
|a_n-2|\le\frac{8}{\sqrt{n}}\le\frac{8}{\sqrt{N}}<\varepsilon.
Isso mostra, por definição, que \lim_{n\to\infty}a_n=2.

Passo 6

Resumo final e encerramento: a manipulação algébrica mostrou a intuição \displaystyle a_n=\frac{2}{1+4/\sqrt{n}}\to2, e a prova \varepsilon- N acima demonstra formalmente que a sequência converge para 2. Boa! Com essa forma de controlar |a_n-2| deu para encontrar uma condição explícita sobre N em função de \varepsilon, que é exatamente o que uma prova de convergência exige.

Resposta

2

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