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Verifique que a sequência
, onde
, para cada inteiro positivo
, converge para 2.
Verifique que a sequência
Passo 1
O enunciado dá a sequência
definida por
e pede para verificar que
converge para
.
Os dados relevantes são apenas a expressão de acima e o objetivo: mostrar que
.
Os dados relevantes são apenas a expressão de
Passo 2
Primeira ideia intuitiva (manipulação algébrica que sugere o limite). Faço uma fatoração simples dividindo numerador e denominador por
ou por
. Por exemplo, dividindo por
no denominador:
Aqui escrevo o que cada símbolo significa:
é o índice da sequência e
cresce sem limite quando
. Assim o termo
tende a
quando
, e pela regra de continuidade da função
isso sugere que
Isto é a intuição. Agora vou dar uma demonstração formal usando a definição de convergência.
Passo 3
Recordando a definição de convergência (em linguagem simples): dizer que
converge para
significa que para todo
existe um
tal que, sempre que
, vale
Aqui
é um número positivo dado (o erro tolerado) e
deve ser escolhido em função de
.
Passo 4
Calculo explícito da diferença
para poder controlar essa quantidade. Faço as contas passo a passo:
Tomando o valor absoluto:
Agora simplifico dividindo numerador e denominador por
:
Passo 5
Estimativa útil e escolha de
. Note que para todo
vale
, portanto
Queremos garantir
. Basta então garantir
. Isso equivale a
Logo, dada qualquer
, pode-se escolher um
tal que
por exemplo
. Para esse
, sempre que
temos
Isso mostra, por definição, que
.
Passo 6
Resumo final e encerramento: a manipulação algébrica mostrou a intuição
, e a prova
-
acima demonstra formalmente que a sequência converge para
. Boa! Com essa forma de controlar
deu para encontrar uma condição explícita sobre
em função de
, que é exatamente o que uma prova de convergência exige.