Considere as sequências
onde
e
e
(a)
converge e
converge.
(b)
e
diverge.
(c)
diverge e
.
(d)
diverge
converge .
(e)
e
.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado define duas sequências:
, onde
e
Pergunta-se qual alternativa descreve corretamente o comportamento de
e da série
(ou de
).
Passo 2
Estudo de
.
Para os termos pares, , temos
Para os termos pares,
Para os termos ímpares,
,
Como ambas as subsequências tendem a zero, concluímos que
Passo 3
Estudo de
.
Usando a fórmula de Stirling aproximada
Usando a fórmula de Stirling aproximada
vemos que
que decai exponencialmente a zero. Logo
.
Para a série , aplicamos o critério da razão:
Para a série
Como
, a série
converge absolutamente.
Passo 4
Comparando com as alternativas:
(a) diz que converge e
converge.
Isso coincide com nossos resultados.
(a) diz que
Isso coincide com nossos resultados.
Resposta
(a)
converge e
converge.