Considere as sequências a_{n}=(-1)^{n} c_{n} \quad onde c_{2 n}=\frac{1}{n+1} e c_{2 n+1}=\frac{1}{n \ln n} \quad e \quad b_{n}= \frac{(-1)^{n} n!}{5^{n} n^{n}}
(a) a_{n} converge e \sum b_{n} converge.
(b) a_{n} \rightarrow 0 e \sum b_{n} diverge.
(c) a_{n} diverge e b_{n} \rightarrow 0.
(d) a_{n} diverge \mathrm{e} \sum b_{n} converge .
(e) a_{n} \rightarrow 0 e b_{n} \rightarrow 1 /(5 e).

Passo 1

O enunciado define duas sequências:
a_{n}=(-1)^{n}c_{n}, onde
c_{2n}=\frac{1}{n+1}, \quad c_{2n+1}=\frac{1}{n\ln n},
e
b_{n}=\frac{(-1)^{n}\,n!}{5^{n}\,n^{n}}.
Pergunta-se qual alternativa descreve corretamente o comportamento de a_{n} e da série \sum b_{n} (ou de b_{n}).

Passo 2

Estudo de a_{n}.
Para os termos pares, n=2k, temos
a_{2k}=(-1)^{2k}c_{2k} = c_{2k} =\frac{1}{k+1} \;\longrightarrow\;0\quad(k\to\infty).
Para os termos ímpares, n=2k+1,
a_{2k+1}=(-1)^{2k+1}c_{2k+1} =-\,\frac{1}{k\ln k} \;\longrightarrow\;0\quad(k\to\infty).
Como ambas as subsequências tendem a zero, concluímos que
a_{n}\longrightarrow 0 \quad\text{e, portanto, \(a_{n}\) converge.}

Passo 3

Estudo de b_{n}.
Usando a fórmula de Stirling aproximada
n!\sim\sqrt{2\pi n}\,\Bigl(\frac{n}{e}\Bigr)^{n},
vemos que
\bigl|b_{n}\bigr| =\frac{n!}{5^{n}n^{n}} \sim\sqrt{2\pi n}\,\frac{(\tfrac{n}{e})^{n}}{5^{n}n^{n}} =\sqrt{2\pi n}\,\Bigl(\frac{1}{5e}\Bigr)^{n},
que decai exponencialmente a zero. Logo b_{n}\to0.
Para a série \sum b_{n}, aplicamos o critério da razão:
L =\lim_{n\to\infty} \left|\frac{b_{n+1}}{b_{n}}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{5}\Bigl(\frac{n}{n+1}\Bigr)^{n} =\frac{1}{5e}<1.
Como L<1, a série \sum b_{n} converge absolutamente.

Passo 4

Comparando com as alternativas:
(a) diz que a_{n} converge e \sum b_{n} converge.
Isso coincide com nossos resultados.

Resposta

(a) a_{n} converge e \sum b_{n} converge.

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