Considere as sequências
e
.
(a) Verifique se são monótonas;
(b) Calcule seus limites, se existirem.
(a) Verifique se são monótonas;
(b) Calcule seus limites, se existirem.
Passo 1
O enunciado pede para as duas sequências
verificarmos (a) se são monotônicas e (b) seus limites. Vamos usar o teste da razão ou da diferença para monotonicidade e conhecimentos sobre crescimento exponencial versus polinomial e limites básicos de
.
Passo 2
Analisando a monotonicidade de
, calculamos a razão entre termos consecutivos:
Para todo
temos
, logo
pois
. Assim
para todo
, e
é estritamente crescente.
Passo 3
Para o limite de
, note que
cresce exponencialmente muito mais rápido que o fator polinomial
. Rigorosamente, como
uniformemente, a sequência não fica limitada superiormente e
Passo 4
Para
, compare
Logo
para todo
, e
é estritamente decrescente.
Passo 5
Por fim, como
quando
, obtemos
Resposta
(a)
é estritamente crescente e
é estritamente decrescente.
(b) e
.
(b)