Considere as sequências (e^nn)n >= 1 e (1+1n^2)n >= 1.
(a) Verifique se são monótonas;
(b) Calcule seus limites, se existirem.

Passo 1

O enunciado pede para as duas sequências
an = e^nn e bn = 1 + 1n^2
verificarmos (a) se são monotônicas e (b) seus limites. Vamos usar o teste da razão ou da diferença para monotonicidade e conhecimentos sobre crescimento exponencial versus polinomial e limites básicos de 1/n^2.

Passo 2

Analisando a monotonicidade de an, calculamos a razão entre termos consecutivos:
an+1an = e^n+1n+1e^nn = e;nn+1 = el(1 - 1n+1r)
Para todo n>=1 temos 1 - tfrac1n+1>=tfrac12, logo
an+1an>= e2>1
pois eapprox2,718. Assim an+1>an para todo n, e (an) é estritamente crescente.

Passo 3

Para o limite de an, note que e^n cresce exponencialmente muito mais rápido que o fator polinomial n. Rigorosamente, como an+1/an>1 uniformemente, a sequência não fica limitada superiormente e
limntoinfty e^nn = +infty

Passo 4

Para bn = 1 + tfrac1n^2, compare
bn+1 = 1 + 1(n+1)^2 < 1 + 1n^2 = bn
Logo bn+1<bn para todo n, e (bn) é estritamente decrescente.

Passo 5

Por fim, como tfrac1n^2to0 quando ntoinfty, obtemos
limntoinfty bn = limntoinftyl(1+1n^2r) = 1

Resposta

(a) l(tfrace^nnr) é estritamente crescente e l(1+tfrac1n^2r) é estritamente decrescente.
(b) limntoinftye^nn=+infty e limntoinftyl(1+1n^2r)=1.

Exercícios relacionados