Q 8 (Integração Imediata) Encontre a família de primitivas para cada função e em seguida derive para verificar a sua resposta.
integral raiz[4]x^3 cdot raiz[3]x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a família de primitivas de
integral raiz[4]x^3;raiz[3]x^2;dx
Este é um caso de integração imediata de potências de x. Vamos precisar usar a conversão de radicais em potências fracionárias e a regra
integral x^n,dx = x^n+1n+1 + C, nneq -1

Passo 2

Convertemos cada radical em potência:
raiz[4]x^3 = x^34, raiz[3]x^2 = x^23
Multiplicando essas potências, somamos os expoentes:
x^34;x^23 = x^34 + 23
Calculemos tfrac34 + tfrac23 = tfrac912 + tfrac812 = tfrac1712. Logo o integrando vira x^17/12.

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula da primitiva de x^n:
integral x^1712,dx = x^1712 + 11712 + 1 + C = x^29122912 + C

Passo 4

Simplificando o denominador tfrac129/12 = tfrac1229, obtemos a família das primitivas:
F(x) = 1229,x^2912 + C

Passo 5

Para verificar, derivamos F(x):
F'(x) = 1229,2912,x^2912-1 = x^1712 = raiz[4]x^3;raiz[3]x^2,
o que coincide com o integrando original.

Resposta

F(x) = 1229,x^2912 + C

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