Prove que:
lim x 0 raizx[1+sen^2(2 pix)]=0

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule
limxto0 raizx,l[1+sen^2l(tfrac2pixr)r]
O conteúdo principal aqui é usar o Teorema do Confronto (ou Squeeze Theorem), sabendo que sen^2 é limitada entre 0 e 1, e que raizxto0 quando xto0^+.

Passo 2

Primeiro, lembramos que para todo real t vale
0 <= sen^2(t) <= 1

Passo 3

Somando 1 em toda a desigualdade, vem
1 <= 1 + sen^2l(tfrac2pixr) <= 2

Passo 4

Como estamos interessados em xto0 pelo lado positivo (para que raizx faça sentido real), multiplicamos a desigualdade inteira por raizx>=0:
raizx ;<=;raizx,l[1 + sen^2(tfrac2pix)r];<=;2,raizx

Passo 5

Agora observamos que
limxto0^+raizx=0elimxto0^+2raizx=0
Pelo Teorema do Confronto, a função intermediária também tende a 0 quando xto0^+.

Resposta

boxed0

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