Q 8 (Integração Imediata) Encontre a família de primitivas para cada função e em seguida derive para verificar a sua resposta.
integral raiz[5]x^2x^3 raiz[4]x d x

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos a família de primitivas de
integral raiz[5]x^2x^3 raiz[4]x,dx
que é um caso de integração de monômio em x. Para isso, vamos primeiro reescrever o integrando como uma potência única de x.

Passo 2

Reescrevendo cada fator em potência de x:
raiz[5]x^2 = x^2/5, raiz[4]x = x^1/4 e x^-3 = 1/x^3.
Logo o integrando fica
x^2/5cdot x^-3cdot x^1/4 = x^2/5 + 1/4 - 3
Agora somamos os expoentes com denominador comum 20:
25 = 820, 14 = 520, -3 = -6020,
então
2/5 + 1/4 - 3 = 820 + 520 - 6020 = -4720

Passo 3

A integral se reduz a
integral x^-47/20,dx
Para x^m com mneq -1, vale
integral x^m,dx = x^m+1m+1 + C
Aqui m = -tfrac4720, logo m+1 = -tfrac4720 + 1 = -tfrac2720.

Passo 4

Aplicando a fórmula, obtemos
integral x^-47/20,dx = x^-27/20-27/20 + C = -2027,x^-27/20 + C

Passo 5

Para verificar, derivamos
F(x) = -2027,x^-27/20
Usando a regra de potência,
F'(x) = -2027cdotl(-tfrac2720r),x^-27/20 -1 = x^-47/20,
que coincide com o integrando reescrito.

Resposta

-2027,x^-27/20 + C

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