Considere as sequências a seguir
l an=5^n(2 n)!n=1^+infty e bn=n2 n+1n=1^+infty Podemos afirmar que são respectivamente: ã
A) an é estritamente crescente e bn é crescente.
B) an é estritamente decrescente e bn é crescente.
C) an é estritamente crescente e bn é estritamente crescente.
D) an é estritamente crescente e bn é estritamente decrescente
E) an é estritamente decrescente e bn é estritamente crescente

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que tá rolando aqui. A gente tem duas sequências:
an = 5^n(2n)! e bn = n2n + 1
O objetivo é descobrir como essas sequências se comportam: se estão aumentando, diminuindo, ou se isso acontece de forma estrita (ou seja, sempre aumentando ou sempre diminuindo sem exceção). Pra isso, vamos usar conceitos de análise de sequências, focando na monotonicidade (se é crescente ou decrescente).

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a sequência $ a_{n} = \frac{5^{n}}{(2n)!} $.
Para entender se $ a_{n} $ está aumentando ou diminuindo, vamos comparar $ a_{n+1} $ com $ a_{n} $:
an = 5^n(2n)!
Agora, vamos ver a razão entre $ a_{n+1} $ e $ a_{n} $:
an
Agora, vamos analisar o valor dessa razão:
Como $ n $ é positivo, $ (2n + 1)(2n + 2) $ é sempre maior que 5 para $ n \geq 1 $. Portanto:
an+1
Isso significa que $ a_{n+1} < a_{n} $, ou seja, a sequência $ a_{n} $ está decrescendo.

Passo 3

Agora, vamos analisar a sequência $ b_{n} = \frac{n}{2n + 1} $.
Queremos saber se $ b_{n} $ está aumentando ou diminuindo. Para isso, vamos calcular $ b_{n+1} $ e comparar com $ b_{n} $:
bn = n2n + 1
Agora, vamos ver se $ b_{n+1} > b_{n} $:
bn
Vamos resolver essa desigualdade:
Multiplicando cruzado:
bn+1
Expandindo:
bn
Simplificando:
bn+1 = n + 12(n + 1) + 1 = n + 12n + 3
Subtraindo $ 2n^{2} + 3n $ de ambos os lados:
bn+1 > bn
Isso é sempre verdadeiro, o que significa que $ b_{n+1} > b_{n} $. Portanto, a sequência $ b_{n} $ está crescendo.

Resposta

A resposta correta é a opção B): $ a_{n} $ é estritamente decrescente e $ b_{n} $ é crescente.

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