Considere a série a seguir
Podemos afirmar que a série acima:
A) Diverge.
B) Converge para
.
C) Converge para
.
D) Converge para
.
E) Converge para
.
A) Diverge.
B) Converge para
C) Converge para
D) Converge para
E) Converge para
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma série infinita definida por:
O conteúdo aqui envolve séries geométricas, que são somas de termos que formam uma progressão geométrica. Para resolver, a gente vai precisar identificar se essa série converge ou diverge e, se convergir, qual é o valor da soma.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série para facilitar a identificação da razão da progressão geométrica. Vamos manipular os expoentes:
Então, a série fica:
Passo 3
Agora, identificamos que essa é uma série geométrica no formato:
Onde:
- $ a = \frac{5}{16} $ é o primeiro termo da série.
- $ r = \frac{4}{5} $ é a razão da progressão geométrica.
Passo 4
Para determinar se uma série geométrica converge ou diverge, observamos o valor de $ r $:
- Se $ |r| < 1 $, a série converge e a soma é dada por $ \frac{a}{1 - r} $.
- Se $ |r| \geq 1 $, a série diverge.
No nosso caso, $ r = \frac{4}{5} $ e $ \left| \frac{4}{5} \right| = 0,8 < 1 $. Então, a série converge.
Passo 5
Agora, vamos calcular a soma da série usando a fórmula da soma de uma série geométrica convergente:
Resposta
A série converge para
. Portanto, a alternativa correta é a letra B) Converge para
.