Considere a série a seguir
sumk=0^+infty 4^k-25^k-1
Podemos afirmar que a série acima:
A) Diverge.
B) Converge para 2516.
C) Converge para 43.
D) Converge para 54.
E) Converge para 169.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma série infinita definida por:
sumk=0^+infty 4^k-25^k-1
O conteúdo aqui envolve séries geométricas, que são somas de termos que formam uma progressão geométrica. Para resolver, a gente vai precisar identificar se essa série converge ou diverge e, se convergir, qual é o valor da soma.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série para facilitar a identificação da razão da progressão geométrica. Vamos manipular os expoentes:
4^k-25^k-1 = 4^k cdot 4^-25^k cdot 5^-1 = 4^k5^k cdot 4^-25^-1 = (45)^k cdot 116 cdot 5 = (45)^k cdot 516
Então, a série fica:
sumk=0^+infty 516 (45)^k

Passo 3

Agora, identificamos que essa é uma série geométrica no formato:
sumk=0^+infty a cdot r^k
Onde:
  • $ a = \frac{5}{16} $ é o primeiro termo da série.
  • $ r = \frac{4}{5} $ é a razão da progressão geométrica.

Passo 4

Para determinar se uma série geométrica converge ou diverge, observamos o valor de $ r $:
  • Se $ |r| < 1 $, a série converge e a soma é dada por $ \frac{a}{1 - r} $.
  • Se $ |r| \geq 1 $, a série diverge.
No nosso caso, $ r = \frac{4}{5} $ e $ \left| \frac{4}{5} \right| = 0,8 < 1 $. Então, a série converge.

Passo 5

Agora, vamos calcular a soma da série usando a fórmula da soma de uma série geométrica convergente:
S = a1 - r = 5161 - 45 = 51615 = 516 times 5 = 2516

Resposta

A série converge para 2516. Portanto, a alternativa correta é a letra B) Converge para 2516.

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