Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série é convergente ou divergente, e caso seja convergente, calcular sua soma. O conteúdo aqui é série geométrica, e vamos usar a definição de série geométrica infinita, que requer conhecer o primeiro termo e a razão .
Passo 2
Precisamos identificar o primeiro termo e a razão da série. Observamos que a expressão geral é . Assim,
• o primeiro termo é ,
• a razão é .
Passo 3
Para decidir convergência, usamos que uma série geométrica infinita converge se e somente se . Aqui temos
logo a série converge.
Passo 4
Como a série converge, aplicamos a fórmula da soma de uma série geométrica infinita: o qual diz que, para |r|<1,