Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
sumn=1^infty 5(35)^n-1

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série sumn=1^infty5(35)^n-1 é convergente ou divergente, e caso seja convergente, calcular sua soma. O conteúdo aqui é série geométrica, e vamos usar a definição de série geométrica infinita, que requer conhecer o primeiro termo a1 e a razão r.

Passo 2

Precisamos identificar o primeiro termo e a razão da série. Observamos que a expressão geral é 5(tfrac35)^n-1. Assim,
• o primeiro termo é a1 = 5(tfrac35)^0 = 5,
• a razão é r = tfrac35.

Passo 3

Para decidir convergência, usamos que uma série geométrica infinita converge se e somente se |r|<1. Aqui temos
|r| = |tfrac35| = tfrac35 < 1,
logo a série converge.

Passo 4

Como a série converge, aplicamos a fórmula da soma de uma série geométrica infinita: o qual diz que, para |r|<1,
S = a11 - r

Passo 5

Substituindo a1 = 5 e r = tfrac35, temos
S = 51 - tfrac35 = 5tfrac25 = 5 cdot 52 = 252

Resposta

A série é convergente e sua soma é tfrac252.

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