Considere a sequinte E.D.O. seguinte:
(2 x+y^3) d x+(3 x y^2+3 x^2+3 x y^3) d y=0
(b) Resolva a equaçào diferencial dada.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a E.D.O. de primeira ordem
2x + y^3),dx + (3xy^2 + 3x^2 + 3xy^3),dy = 0
Aqui o conteúdo é equações diferenciais exatas e fator integrante, e vamos precisar testar exatidão e, se necessário, achar um fator integrante dependente só de (y$.

Passo 2

Começamos checando se a equação é exata. Definindo M(x,y)=2x+y^3 e N(x,y)=3xy^2+3x^2+3xy^3, calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y=3y^2, partial Npartial x=3y^2+6x+3y^3
Como partial M/partial y neq partial N/partial x, a equação não é exata.

Passo 3

Buscamos agora um fator integrante mu(y). A condição para mu(y) é que
partial Npartial x-partial Mpartial yM=função só de yçãó

Passo 4

Nesse caso
(3y^2+6x+3y^3)-3y^22x+y^3=6x+3y^32x+y^3=3,
que é constante e portanto depende só de y. Logo
mu'(y)mu(y)=3 implies mu(y)=e^3y

Passo 5

Multiplicamos a equação original por e^3y. Definindo
tilde M=e^3y(2x+y^3), tilde N=e^3y(3xy^2+3x^2+3xy^3),

Passo 6

podemos verificar que agora partial tilde M/partial y=partial tilde N/partial x, ou seja, a equação ficou exata.

Passo 7

Procuramos então uma função potencial Psi(x,y) tal que
partial Psipartial x=tilde M

Passo 8

Integrando em relação a x:
Psi(x,y)=integral e^3y(2x+y^3),dx=e^3y(x^2+x y^3)+h(y)

Passo 9

Para determinar h(y), impomos partial Psi/partial y=tilde N. Calculando, obtemos que h'(y)=0, logo h(y) é constante.
Portanto, a solução geral vem de
Psi(x,y)=C,

Passo 10

isto é,
e^3yl(x^2+x y^3r)=C

Resposta

A solução geral é
e^3yl(x^2+x y^3r)=C,
ou equivalentemente
x(x+y^3)e^3y=C

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