Considere a sequinte E.D.O. seguinte:
(b) Resolva a equaçào diferencial dada.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a E.D.O. de primeira ordem
Aqui o conteúdo é equações diferenciais exatas e fator integrante, e vamos precisar testar exatidão e, se necessário, achar um fator integrante dependente só de (y$.
Passo 2
Começamos checando se a equação é exata. Definindo
e
, calculamos as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata.
Como
Passo 3
Buscamos agora um fator integrante
. A condição para
é que
Passo 4
Nesse caso
que é constante e portanto depende só de
Passo 5
Multiplicamos a equação original por
. Definindo
Passo 6
podemos verificar que agora
, ou seja, a equação ficou exata.
Passo 7
Procuramos então uma função potencial
tal que
Passo 8
Integrando em relação a
:
Passo 9
Para determinar
, impomos
. Calculando, obtemos que
, logo
é constante.
Portanto, a solução geral vem de
Portanto, a solução geral vem de
Passo 10
isto é,
Resposta
A solução geral é
ou equivalentemente