Verificar a convergência das séries
sum (n!)^2(2 n)!

Passo 1

Estamos com a série infinita sumn=1^infty (n!)^2(2n)!, que aparece em cursos de Análise Real e convergência de séries. Para testar se ela converge, vamos usar o critério da razão, que é bem eficiente quando há fatoriais.

Passo 2

O critério da razão diz que, para an>0, se L = limntoinfty an+1an < 1, então a série sum an converge absolutamente.

Passo 3

Vamos calcular a razão entre termos consecutivos. Tomando an = (n!)^2(2n)!, temos
$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\bigl((n+1)!\bigr)^2}{(2n+2)!} \cdot \frac{(2n)!}{(n!)^2}.
$$ Simplificando passo a passo:
an+1an = l((n+1)!r)^2(2n+2)! cdot (2n)!(n!)^2

Passo 4

Agora, vamos achar o limite dessa razão quando ntoinfty:
L = limntoinfty n+12(2n+1) = limntoinfty n(1+1/n)4n(1+1/(2n)) = 14

Passo 5

Como L = 1/4 < 1, o critério da razão garante que a série converge absolutamente.

Resposta

A série sumn=1^infty (n!)^2(2n)! é convergente (converge absolutamente).

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