Verificar a convergência das séries
Passo 1
Estamos com a série infinita
, que aparece em cursos de Análise Real e convergência de séries. Para testar se ela converge, vamos usar o critério da razão, que é bem eficiente quando há fatoriais.
Passo 2
O critério da razão diz que, para
, se
então a série
converge absolutamente.
Passo 3
Vamos calcular a razão entre termos consecutivos. Tomando
temos
$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\bigl((n+1)!\bigr)^2}{(2n+2)!} \cdot \frac{(2n)!}{(n!)^2}.
$$ Simplificando passo a passo:
Passo 4
Agora, vamos achar o limite dessa razão quando
:
Passo 5
Como
, o critério da razão garante que a série converge absolutamente.
Resposta
A série
é convergente (converge absolutamente).