Utilize variação dos parâmetros para resolver a equação diferencial ordinária não homogênea:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo não homogênea:
Vamos resolver essa equação usando o método de variação dos parâmetros. Para isso, precisamos primeiro resolver a parte homogênea (quando o lado direito é zero) e depois encontrar uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é uma equação diferencial de Euler ou Cauchy-Euler, que tem a forma geral:
A gente resolve isso assumindo uma solução do tipo
. Derivando:
Substituindo na equação:
Como
, temos a equação característica:
Resolvendo a equação quadrática:
Então,
e
.
Passo 3
Com os valores de
, a solução geral da parte homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa usando variação dos parâmetros. A forma geral para
é:
Onde
e
são funções que vamos determinar.
Primeiro, derivamos
:
Para simplificar, impomos as condições:
Resolvendo esse sistema:
Da primeira equação:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação e resolvendo para
e
, encontramos:
Após calcular, obtemos a solução particular
.
Passo 5
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.