Seja
um campo vetorial.
(a) (3 pontos) Determine se o campo vetorial
é conservativo ou não. Caso
seja conservativo justifique sua resposta.
(a) (3 pontos) Determine se o campo vetorial
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para determinar se o campo vetorial
é conservativo ou não. Para isso, vamos precisar entender o que é um campo vetorial conservativo e quais condições ele deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existir uma função potencial
tal que
. Em outras palavras,
pode ser obtido como o gradiente de alguma função escalar.
Passo 3
Para verificar se
é conservativo, utilizamos uma condição importante: as derivadas parciais cruzadas devem ser iguais. Ou seja, se
, então o campo é conservativo se:
Vamos identificar
e
no nosso caso:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
Percebemos que:
Isso significa que as derivadas parciais cruzadas são iguais.
Passo 5
Como a condição
é satisfeita, podemos concluir que o campo vetorial
é conservativo. Isso implica que existe uma função potencial
tal que
.
Resposta
O campo vetorial
é conservativo.