Seja F(x, y)=(3+2 x y) i+(x^2-3 y^2) j um campo vetorial.
(a) (3 pontos) Determine se o campo vetorial F(x, y) é conservativo ou não. Caso F(x, y) seja conservativo justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para determinar se o campo vetorial F(x, y) = (3 + 2xy) i + (x^2 - 3y^2) j é conservativo ou não. Para isso, vamos precisar entender o que é um campo vetorial conservativo e quais condições ele deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existir uma função potencial phi(x, y) tal que F = nabla phi. Em outras palavras, F pode ser obtido como o gradiente de alguma função escalar.

Passo 3

Para verificar se F é conservativo, utilizamos uma condição importante: as derivadas parciais cruzadas devem ser iguais. Ou seja, se F(x, y) = P(x, y) i + Q(x, y) j, então o campo é conservativo se:
partial Ppartial y = partial Qpartial x
Vamos identificar P(x, y) e Q(x, y) no nosso caso:
P(x, y) = 3 + 2xy e Q(x, y) = x^2 - 3y^2

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
partial Ppartial y = partialpartial y(3 + 2xy) = 2x
partial Qpartial x = partialpartial x(x^2 - 3y^2) = 2x
Percebemos que:
partial Ppartial y = partial Qpartial x = 2x
Isso significa que as derivadas parciais cruzadas são iguais.

Passo 5

Como a condição partial Ppartial y = partial Qpartial x é satisfeita, podemos concluir que o campo vetorial F(x, y) é conservativo. Isso implica que existe uma função potencial phi(x, y) tal que F = nabla phi.

Resposta

O campo vetorial F(x, y) é conservativo.

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