Considere a sequinte E.D.O. seguinte:
(2 x+y^3) d x+(3 x y^2+3 x^2+3 x y^3) d y=0
(a) Verifique que a equação não é exata e encontre um fator integrante adequado.

Passo 1

Temos a EDO (2x+y^3),dx+(3xy^2+3x^2+3xy^3),dy=0. O conteúdo é equações diferenciais exatas e fator integrante; vamos primeiro verificar exatidão e depois buscar um fator integrante de x ou de y.

Passo 2

Denotando M(x,y)=2x+y^3 e N(x,y)=3xy^2+3x^2+3xy^3, calculamos as derivadas parciais:
My=partialpartial y(2x+y^3)=3y^2,
Nx=partialpartial x(3xy^2+3x^2+3xy^3)=3y^2+6x+3y^3
Como Myneq Nx, a equação não é exata.

Passo 3

Para achar um fator integrante, testamos a razão
Nx-MyM=(3y^2+6x+3y^3)-3y^22x+y^3=6x+3y^32x+y^3=3,
que depende apenas de y (na verdade é constante). Assim o fator integrante é
mu(y)=e^integral3,dy=e^3y

Resposta

O fator integrante adequado é mu(y)=e^3y.

Exercícios relacionados