Verificar a convergência das séries
sum 3 n^2+5 n+12 n(n^2+1)

Passo 1

Temos a série sumn=1^infty 3n^2+5n+12n,(n^2+1). O conteúdo aqui é de séries numéricas e vamos usar o teste de comparação por limite (limit comparison test) comparando com a série harmônica.

Passo 2

Primeiro, verificamos o comportamento do termo geral an=3n^2+5n+12n(n^2+1). Para isso, calculamos o limite de an quando ntoinfty.
limntoinfty an = limntoinfty 3n^2+5n+12n(n^2+1) = limntoinfty 3 + 5n + 1n^22(1 + 1n^2) 1n = 0
Como o termo geral vai a zero, o teste do termo não é suficiente para concluir convergência.

Passo 3

Aplicamos então o teste de comparação por limite com a série harmônica sum1n. Calculamos
L = limntoinfty an1/n = limntoinfty 3n^2+5n+12n(n^2+1) cdot n = limntoinfty 3n^3+5n^2+n2n^3+2n = 32
Como 0 < L < infty, as duas séries têm o mesmo comportamento de convergência.

Passo 4

A série harmônica sum 1/n diverge. Logo, pela comparação, a nossa série também diverge.

Resposta

A série diverge.

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