Considere a série:
Mostre que esta série é convergente pelo Critério da Raiz.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma série infinita que parece meio bagunçada na ordem dos termos:
O objetivo aqui é mostrar que essa série converge usando o Critério da Raiz. Para isso, vamos precisar entender como aplicar esse critério passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Critério da Raiz. Esse critério nos ajuda a determinar se uma série infinita converge ou diverge. A ideia é analisar o limite da raiz enésima do termo geral da série.
Matematicamente, para uma série
, calculamos:
- Se
, a série converge. - Se
, a série diverge. - Se
, o critério da raiz não dá resposta.
Passo 3
Agora, vamos identificar o termo geral da nossa série. Observando a série dada:
Parece que os expoentes estão alternando entre ímpares e pares de forma crescente. Podemos reescrever isso para facilitar:
Perceba que a cada dois termos, o expoente aumenta de 2 (1, 3, 5, …) e de (0, 2, 4, …). Mas para aplicar o critério da raiz, precisamos do termo geral em função de
. Vamos reorganizar os termos:
Assim, a série fica:
Passo 4
Com o termo geral definido como
, vamos aplicar o Critério da Raiz.
Calculamos o limite:
Simplificando a expressão dentro do limite:
Passo 5
Agora, avaliamos o valor de
que encontramos:
Como
, segundo o Critério da Raiz, a série converge.
Resposta
A série é convergente pelo Critério da Raiz, já que o limite
.