Considere a série:
12^1+12^0+12^3+12^2+12^5+12^4+12^7+12^6+ldots
Mostre que esta série é convergente pelo Critério da Raiz.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma série infinita que parece meio bagunçada na ordem dos termos:
12^1 + 12^0 + 12^3 + 12^2 + 12^5 + 12^4 + 12^7 + 12^6 + ldots
O objetivo aqui é mostrar que essa série converge usando o Critério da Raiz. Para isso, vamos precisar entender como aplicar esse critério passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Critério da Raiz. Esse critério nos ajuda a determinar se uma série infinita converge ou diverge. A ideia é analisar o limite da raiz enésima do termo geral da série.
Matematicamente, para uma série sum an, calculamos:
L = limn to infty raiz[n]|an|
  • Se L < 1, a série converge.
  • Se L > 1, a série diverge.
  • Se L = 1, o critério da raiz não dá resposta.

Passo 3

Agora, vamos identificar o termo geral da nossa série. Observando a série dada:
12^1, 12^0, 12^3, 12^2, 12^5, 12^4, ldots
Parece que os expoentes estão alternando entre ímpares e pares de forma crescente. Podemos reescrever isso para facilitar:
12^1, 12^0, 12^3, 12^2, 12^5, 12^4, ldots
Perceba que a cada dois termos, o expoente aumenta de 2 (1, 3, 5, …) e de (0, 2, 4, …). Mas para aplicar o critério da raiz, precisamos do termo geral em função de n. Vamos reorganizar os termos:
an = 12^n
Assim, a série fica:
sumn=0^infty 12^n

Passo 4

Com o termo geral definido como an = 12^n, vamos aplicar o Critério da Raiz.
Calculamos o limite:
L = limn to infty raiz[n]|an| = limn to infty raiz[n]12^n
Simplificando a expressão dentro do limite:
raiz[n]12^n = (12^n)^1n = 12

Passo 5

Agora, avaliamos o valor de L que encontramos:
L = 12
Como L = 12 < 1, segundo o Critério da Raiz, a série converge.

Resposta

A série é convergente pelo Critério da Raiz, já que o limite L = 12 < 1.

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