Justifique as seguintes igualdades:
Passo 1
Vamos lá! A gente tem que justificar que a soma da série
iguala a 1. Esse exercício está relacionado com séries numéricas e frações parciais. Para resolver, vamos precisar entender como decompor frações e identificar se a série é telescópica, que é quando muitos termos se cancelam.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a fração
. Para isso, usamos a técnica de frações parciais, que ajuda a quebrar frações em partes menores mais fáceis de somar. Queremos encontrar números A e B tais que:
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar as frações, temos:
Expandindo:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 4
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes. Para que a igualdade seja verdadeira para todo n:
- O coeficiente de n deve ser 0:
- O termo constante deve ser 1:
Passo 5
Resolvendo o sistema:
- De
, já sabemos que A é 1. - Substituindo A na primeira equação:
, então .
Portanto:
Passo 6
Agora, substituímos de volta na soma:
Isso é uma série telescópica, onde muitos termos se cancelam quando somamos.
Passo 7
Vamos ver os primeiros termos da soma para entender o cancelamento:
Observa que
cancela com
,
com
, e assim por diante.
Passo 8
Após o cancelamento, o que sobra é apenas o primeiro termo positivo e o termo negativo que vai se aproximando de zero à medida que n cresce:
Resposta
Portanto, a soma da série
é igual a 1.