Justifique as seguintes igualdades:
sum 1n(n+1)=1

Passo 1

Vamos lá! A gente tem que justificar que a soma da série sum 1n(n+1) iguala a 1. Esse exercício está relacionado com séries numéricas e frações parciais. Para resolver, vamos precisar entender como decompor frações e identificar se a série é telescópica, que é quando muitos termos se cancelam.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração 1n(n+1). Para isso, usamos a técnica de frações parciais, que ajuda a quebrar frações em partes menores mais fáceis de somar. Queremos encontrar números A e B tais que:
1n(n+1) = An + Bn+1

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por n(n+1) para eliminar as frações, temos:
1 = A(n+1) + Bn
Expandindo:
1 = An + A + Bn
Agrupando os termos semelhantes:
1 = (A + B)n + A

Passo 4

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes. Para que a igualdade seja verdadeira para todo n:
  • O coeficiente de n deve ser 0: A + B = 0
  • O termo constante deve ser 1: A = 1

Passo 5

Resolvendo o sistema:
  1. De A = 1, já sabemos que A é 1.
  2. Substituindo A na primeira equação: 1 + B = 0, então B = -1.
Portanto:
1n(n+1) = 1n - 1n+1

Passo 6

Agora, substituímos de volta na soma:
sumn=1^infty ( 1n - 1n+1 )
Isso é uma série telescópica, onde muitos termos se cancelam quando somamos.

Passo 7

Vamos ver os primeiros termos da soma para entender o cancelamento:
( 11 - 12 ) + ( 12 - 13 ) + ( 13 - 14 ) + dots
Observa que -12 cancela com +12, -13 com +13, e assim por diante.

Passo 8

Após o cancelamento, o que sobra é apenas o primeiro termo positivo e o termo negativo que vai se aproximando de zero à medida que n cresce:
1 - limn to infty 1n+1 = 1 - 0 = 1

Resposta

Portanto, a soma da série sum 1n(n+1) é igual a 1.

Exercícios relacionados