Escreva a fração decimal como:
  1. uma série infinita;
  2. encontre a soma da série e escreva a soma como o quociente de dois inteiros:
    0, 412

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para transformar a fração decimal 0,412 em:
  1. Uma série infinita;
  2. Encontrar a soma dessa série e escrevê-la como o quociente de dois inteiros.
Para isso, vamos utilizar conceitos de séries geométricas e frações periódicas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa 0,412. Essa notação indica que os dígitos “412” se repetem infinitamente após a vírgula. Então, podemos escrever:
0,412 = 0.412412412412ldots

Passo 3

Agora, vamos expressar essa decimal como uma série infinita. Cada repetição “412” representa uma parte da soma. Podemos escrever:
0,412 = 4121000 + 4121000^2 + 4121000^3 + cdots
Isso é uma série geométrica onde cada termo é 4121000 multiplicado por 11000 elevado à potência n-1, onde n é o termo.

Passo 4

Identificamos que esta é uma série geométrica infinita com:
  • Primeiro termo ( a): 4121000
  • Razão ( r): 11000
Sabemos que a soma de uma série geométrica infinita é dada por:
S = a1 - r
desde que |r| < 1.

Passo 5

Aplicando a fórmula da soma:
S = 41210001 - 11000 = 41210009991000 = 412999
Portanto, a soma da série infinita que representa 0,412 é 412999.

Resposta

A soma da série infinita que representa 0,412 é 412999.

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