encontre a soma da série e escreva a soma como o quociente de dois inteiros:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para transformar a fração decimal 0,412 em:
Uma série infinita;
Encontrar a soma dessa série e escrevê-la como o quociente de dois inteiros.
Para isso, vamos utilizar conceitos de séries geométricas e frações periódicas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa 0,412. Essa notação indica que os dígitos “412” se repetem infinitamente após a vírgula. Então, podemos escrever:
0,412 = 0.412412412412ldots
Passo 3
Agora, vamos expressar essa decimal como uma série infinita. Cada repetição “412” representa uma parte da soma. Podemos escrever:
0,412 = 4121000 + 4121000^2 + 4121000^3 + cdots
Isso é uma série geométrica onde cada termo é 4121000 multiplicado por 11000 elevado à potência n-1, onde n é o termo.
Passo 4
Identificamos que esta é uma série geométrica infinita com:
Primeiro termo (a): 4121000
Razão (r): 11000
Sabemos que a soma de uma série geométrica infinita é dada por:
S = a1 - r
desde que |r| < 1.
Passo 5
Aplicando a fórmula da soma:
S = 41210001 - 11000 = 41210009991000 = 412999
Portanto, a soma da série infinita que representa 0,412 é 412999.
Resposta
A soma da série infinita que representa 0,412 é 412999.