Considere a série sumn=1^infty 1n^2+4 n+9.
Calcule o valor da série.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa série infinita: sumn=1^infty 1n^2+4n+9. Aqui, a gente vai usar conhecimentos de séries infinitas e um pouquinho de álgebra para simplificar a expressão e encontrar o valor da série.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador n^2 + 4n + 9. Para isso, completamos o quadrado:
n^2 + 4n + 9 = (n + 2)^2 + 5
Isso ajuda a deixar a expressão mais fácil de trabalhar.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a série com essa nova forma do denominador:
sumn=1^infty 1(n + 2)^2 + 5
Para facilitar, vamos fazer uma mudança de variável. Seja m = n + 2, então quando n = 1, m = 3. A série fica:
summ=3^infty 1m^2 + 5

Passo 4

Sabemos que a série summ=1^infty 1m^2 + a^2 tem uma soma conhecida. No nosso caso, a^2 = 5, então a = raiz5. A fórmula para essa série é:
summ=1^infty 1m^2 + a^2 = 12a^2 + pi2a coth(api) - 12a^2
Simplificando, temos:
summ=1^infty 1m^2 + 5 = pi2raiz5 coth(raiz5 pi) - 110

Passo 5

Como nossa série começa em m = 3, precisamos subtrair os termos faltantes da série que começa em m = 1. Ou seja:
summ=3^infty 1m^2 + 5 = summ=1^infty 1m^2 + 5 - ( 11^2 + 5 + 12^2 + 5 )
Calculando esses termos:
11 + 5 = 16
14 + 5 = 19

Passo 6

Substituindo de volta na expressão:
sumn=1^infty 1n^2+4n+9 = pi2raiz5 coth(raiz5 pi) - 110 - 16 - 19
Vamos calcular os valores numéricos das frações:
110 = 0,1
16 approx 0,1667
19 approx 0,1111
Então:
sumn=1^infty 1n^2+4n+9 approx pi2raiz5 coth(raiz5 pi) - 0,1 - 0,1667 - 0,1111

Resposta

O valor da série sumn=1^infty 1n^2+4n+9 é aproximadamente pi2raiz5 coth(raiz5 pi) - 0,3778.

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