A sequência an=(n+1)^n+1n^n+1 converge? Justifique!

Passo 1

Vamos dar uma olhada na questão: queremos saber se a sequência an = (n+1)^n+1n^n+1 converge. Para resolver isso, vamos precisar entender de limites de sequências e propriedades de expoentes.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão de an :
an = (n+1)^n+1n^n+1 = ( n+1n )^n+1

Passo 3

Agora, vamos simplificar ainda mais a fração dentro do expoente:
n+1n = 1 + 1n
Então, a sequência fica:
an = ( 1 + 1n )^n+1

Passo 4

Sabemos que limn to infty (1 + 1n)^n = e (onde e é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente 2,71828). Agora, vamos ver o limite de an :
limn to infty an = limn to infty ( 1 + 1n )^n+1 = limn to infty (1 + 1n)^n times (1 + 1n) = e times 1 = e

Resposta

A sequência an = (n+1)^n+1n^n+1 converge para e .

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