Decida se as séries abaixo convergem absolutamente, condicionalmente ou divergem. Justifique! Qual foi o critério de convergência utilizado?
sumn=1^infty(-1)^n+1 (200^n(n!))^3(3 n)!

Passo 1

Então, a gente tem aqui um exercício de séries infinitas. A tarefa é decidir se a série dada converge absolutamente, condicionalmente ou diverge. Além disso, precisamos justificar a resposta e dizer qual critério de convergência foi usado. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre testes de convergência, especialmente o Teste da Razão, que é muito útil quando trabalhamos com termos que envolvem fatorial e potências, como é o caso dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na série que temos:
sumn=1^infty (-1)^n+1 (200^n (n!))^3(3n)!
Nosso objetivo é verificar se essa série converge ou diverge.

Passo 3

Para isso, vamos começar analisando a convergência absoluta. Isso significa que vamos olhar a série sem considerar os sinais alternados, ou seja, vamos considerar a série dos valores absolutos:
sumn=1^infty | (-1)^n+1 (200^n (n!))^3(3n)! | = sumn=1^infty (200^n (n!))^3(3n)!

Passo 4

Agora, para verificar se essa série converge, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste é útil quando temos termos que envolvem fatoriais ou potências. O teste diz que, se o limite da razão entre termos consecutivos for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste não conclui.
Então, vamos calcular:
L = limn to infty | an+1an |
Onde an = (200^n (n!))^3(3n)! .

Passo 5

Calculando an+1 :
an+1 = (200^n+1 ((n+1)!))^3(3(n+1))! = 200^3(n+1) (n+1)!)^3(3n + 3)!
Agora, a razão an+1an fica:
200^3(n+1) ((n+1)!)^3(3n + 3)! times (3n)!200^3n (n!)^3 = 200^3 times (n+1)^3 times 1(3n + 3)(3n + 2)(3n + 1)
Simplificando:
an+1an = 200^3 times (n+1)^3(3n + 3)(3n + 2)(3n + 1)

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite L :
L = limn to infty 200^3 times (n+1)^3(3n + 3)(3n + 2)(3n + 1)
Observando o comportamento para n grande, podemos aproximar os denominadores:
(3n + 3)(3n + 2)(3n + 1) approx (3n)^3 = 27n^3
Então, o limite fica:
L approx limn to infty 200^3 times (n+1)^327n^3 = 200^327 times limn to infty ( n+1n )^3 = 200^327 times 1 = 8,000,00027 approx 296,296.30

Passo 7

Como L approx 296,296.30 é muito maior que 1, pelo Teste da Razão, a série de valores absolutos diverge. Ou seja, a série não converge absolutamente.

Passo 8

Agora, precisamos verificar se a série original pode convergir condicionalmente. Para isso, usamos o Teste da Série Alternada, que diz que uma série alternada converge se:
  1. Os termos |an| são decrescentes.
  2. O limite de |an| tende a zero.
No nosso caso, já vimos que |an| não tende a zero (na verdade, tende ao infinito), então a série não converge condicionalmente.

Resposta

A série diverge. Utilizamos o Teste da Razão para chegar a essa conclusão.

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